Kezdőlap


Feladat:	F.2720	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh 171 J. , Benczúr P. , Csirik J. , Eiben P. , Kaska T. , Kondacs A. , Macskási Zs. , Mezei J. , Mohai Zsuzsa , Peták A. , Podoski Károly.
Füzet:	1989/október, 300 - 301. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Trigonometriai azonosságok, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Körülírt kör, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/december: F.2720

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy egy háromszög bármelyik oldalára $a = 2 r \cdot sin α$ , ahol $r$ a körülírt kör sugara. Ezt felhasználva, majd $2 r$ -rel osztva:

\begin{matrix} sin α \cdot tg α + sin β \cdot tg β = (sin α + sin β) tg \frac{α + β}{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} sin α (tg α - tg \frac{α + β}{2}) + sin β (tg β - tg \frac{α + β}{2}) = 0. \end{matrix}

tg x - tg y = \frac{sin (x - y)}{cos x \cdot cos y}

összefüggést mindkét tagban alkalmazva:

\begin{matrix} sin α \cdot \frac{sin \frac{α - β}{2}}{cos α \cdot cos \frac{α + β}{2}} - sin β \frac{sin \frac{α - β}{2}}{cos β cos \frac{α + β}{2}} = 0. \end{matrix}

Szorozzuk meg mindkét oldalt

cos \frac{α + β}{2}

-vel, ekkor

\begin{matrix} \frac{sin α}{cos α} \cdot sin \frac{α - β}{2} - \frac{sin β}{cos β} \cdot sin \frac{α - β}{2} = 0, \end{matrix}

majd szorzattá alakítva és a

tg x

definícióját alkalmazva:

\begin{matrix} sin \frac{α - β}{2} (tg α - tg β) = 0. \end{matrix}

Ez pontosan akkor teljesül, ha

\begin{matrix} sin \frac{α - β}{2} = 0, vagy tg α - tg β = 0. \end{matrix}

Mivel

α

és

β

egy háromszög szögei, mindkét feltétel azt jelenti, hogy

\begin{matrix} α = β . \end{matrix}

Utólag megállapíthatjuk, hogy az eredeti feltételt átalakítva azzal mindig ekvivalens egyenleteket kaptunk. Ugyanis, ha

tg α

és

tg β

értelmezve van, akkor

cos α \neq 0, cos β \neq 0

, és viszont.

(

tg \frac{α + β}{2}

értelmezettsége, azaz

cos \frac{α + β}{2} \neq 0

egy háromszögben nyilvánvaló, hiszen

\frac{α + β}{2}

nem lehet

90^{\circ} .)

Ezért az eredeti feltétel nemcsak elegendő, hanem szükséges és elegendő feltétele annak, hogy a háromszög egyenlő szárú legyen.

Mohai Zsuzsa (Dombóvár, Gőgös I. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés: Több beküldő nem vizsgálta meg, hogy az eredeti egyenletben szereplő függvények mikor vannak értelmezve, illetve olyan átalakításokat is végzett, amelyek az eredetivel nem ekvivalens egyenlethez is vezethetnének. Ilyen pl. a

sin \frac{α + β}{2}

-vel való osztás, amely gyökvesztéshez is vezethetne, mert megkívánja az

α \neq β

kikötést. Éppen ezért helyesebb, ha az

f \cdot g = f \cdot h

alakú egyenleteket

f (g - h) = 0

alakban írjuk, mert így a két formula mindig ekvivalens.