Feladat: F.2719 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Benczúr P. ,  Benkő P. ,  Podoski Károly. ,  Tornyi Lajos 
Füzet: 1989/május, 210 - 211. oldal  PDF file
Témakör(ök): Összefüggések binomiális együtthatókra, Polinomok, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1988/december: F.2719

Az n-edfokú P(x) polinomra teljesül, hogy P(j)=2j-1, ha j=1, 2, ..., n, n+1. Mennyi P(n+2) értéke?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük P(x) elsőrendű különbség-polinomját, a P(x+1)-P(x) polinomot P1(x)-szel (ez nyilván (n-1)-edfokú), a másodrendű különbség-polinomja legyen P2(x)=P1(x+1)-P1(x) (ennek a polinomnak n-2 a foka), és általában hasonlóan definiáljuk a k-adrendű különbség-polinomot: Pk(x)=Pk-1(x+1)-Pk-1(x). A k-ra vonatkozó indukcióval könnyen látható, hogy Pk(x) foka n-k, így a Pn(x) polinom már konstans. Ezt a konstanst (és a különbség-polinomok közbülső értékeit) adatainkból ismételt kivonással határozhatjuk meg:

 
 

Pn(x) tehát az azonosan 1 polinom. Ebből P(n+2) értékét a következőképpen kaphatjuk meg:
P(n+2)=P(n+1)+P1(n+1)=P(n+1)+P1(n)+P2(n)=P(n+1)+P1(n)+P2(n-1)+P3(n-1)=...=P(n+1)+P1(n)+P2(n-1)+P3(n-2)+...+Pn-1(2)+Pn(2)==2n+2n-1+2n-2+...+22+2+1==2n+1-1
(előbbi táblázatunkban ez az utolsó "átló'' összege).
 

II. megoldás. Felhasználjuk az ismert
i=0k-1(k-1i)=2k-1
azonosságot. Értelmezzük a q0(x)=1, ill. k1-re a
qk(x)=(x-1k)=(x-1)(x-2)...(x-k)k!
k-adfokú polinomokat. Ekkor a
q(x)=q0(x)+q1(x)+...+qk(x)+...+qn(x)
polinom az x= 1, 2, ..., n+1 helyeken rendre a 20, 21, 22, ..., 2n értékeket veszi fel. Ha ugyanis x=k, akkor
q0(k)+q1(k)+...+qk-1(k)=(k-10)+(k-11)+...+(k-1k-1)=2k-1,
és tk esetén q1(k)=0. Így az n-edfokú q(x) polinom az x= 1, 2, ..., n+1 helyeken éppen azokat az értékeket veszi fel, mint P(x). Ha azonban két n-edfokú polinom (n+1) különböző helyen megegyezik, akkor azonos; tehát q(x) maga a keresett polinom. Ennek pedig az x=n+2 helyen felvett értéke:
i=0n(n+1i)=2n+1-1.
 

Tornyi Lajos (Bp. Fazekas M. Gimn. IV. o. t.)