Feladat: F.2716 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1989/május, 208 - 209. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Paraméteres egyenlőtlenségek, Egyenlőtlenségek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1988/december: F.2716

Melyik az a legnagyobb pozitív egész n, amelyre
sinnx+cosnx1n
bármely valós x-re?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

x=π-re a bal oldal értéke (-1)n, ezért n csak páros szám lehet; legyen n=2k.
Az f: xsin2kx+cos2kx függvény periodikus, és a periódus hossza π2, hiszen

sin2k(x+π2)=cos2kx,cos2k(x+π2)=sin2kx.

Az is látható, hogy az f függvény a [0,π2] intervallumon π/4-re szimmetrikus, azaz
f(π/2-x)=sin2k(π/2-x)+cos2k(π/2-x)=cos2kx+sin2kx=f(x).
Mivel f(x) minimális értékére van szükségünk, elég f-et a [0,π/4] intervallumban vizsgálni. Ha x-et ebből az intervallumból választjuk, akkor x felírható x=π/4-y alakban, ahol 0yπ/4. Ezzel
f(x)=(sin2(π/4-y))k+(cos2(π/4-y))k==((12(cosy-siny))2)k+((12(cosy+siny))2)k==12k((1-sin2y)k+(1+sin2y)k).
A k-adik hatványokat a binomiális tétellel kiszámolva, összevonás után a negatív tagok kiesnek, és a nem negatív tagok elhagyásával az összeg nem növekszik:
f(x)=12k((1-(k1)sin2y+(k2)sin22y-+...)+(1)+(1+(k1)sin2y+(k2)sin22y+...))==12k-1(1+(k2)sin22y+(k4)sin42y+...)12k-1.

Az alsó becslésként kapott 12k-1 éppen f(π/4); így azt a legnagyobb k természetes számot kell megtalálnunk, amelyre
12k-112k.(2)

Könnyen látható, hogy k4 esetén (2) teljesül, k=5-re pedig az egyenlőtlenség már nem áll fenn. Ha pedig egy t (4-nél nagyobb) pozitív egészre 12t-1<12t, akkor 12(t+1)-1=1212t-1<1212t<12(t+1), azaz (t+1)-re sem teljesül az egyenlőtlenség. Így a (2) összefüggést kielégítő legnagyobb természetes szám a 4, feladatunk kérdésére tehát n=24=8 a válasz.
 

Megjegyzés. A megoldásban kulcsszerepet játszó (1) becsléshez más módszerrel is eljuthatunk. Kiszámíthatjuk az f függvény deriváltját, amelyről könnyen igazolhatjuk, hogy a [0,π/4]-ben nem pozitív. Használhatjuk továbbá a k-adik hatványközépre és a számtani középre vonatkozó egyenlőtlenséget is, amely szerint
(sin2x)k+(cos2x)k2ksin2x+cos2x2=12.