Feladat: F.2655 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1988/március, 109 - 110. oldal  PDF file
Témakör(ök): Poliéderek átdarabolása, Négyszög alapú gúlák, Tér parkettázás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1987/október: F.2655

Kitölthető-e hézagmentesen és átfedés nélkül a tér a 2437 sz. gyakorlatban szereplő test egybevágó példányaival?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szóban forgó testet úgy is elkészíthetjük, hogy egy 6cm élű K kocka egyik lapjának oldalfelező pontjait összekötjük, az így kapott négyzetre, mint alaplapra egy 6cm magas G egyenes gúlát állítunk, végül a G oldallapjainak a síkjával levágunk a kockából egy-egy gúlát*. A testet egy négyzet, négy egyenlő szárú háromszög és négy rombusz határolja. Nevezzük a négyzetlapot alaplapnak, a rombuszok közös pontját, a G csúcsát pedig az alappal szemközti csúcsnak.

 
 

Állítsuk egymás mellé a vizsgált test négy példányát úgy, hogy alapjaik egyesítése egy 12cm oldalú négyzetet alkosson, ennek középpontja legyen O. Az alappal szemközti csúcsok legyenek P,Q,R,S (ld. ábra). Az alappal szemközti csúcs merőleges vetülete az alap középpontja, ezért a PQRS négyszög egy 6cm oldalú négyzet. A négy poliéder alaplapjának közös síkja legyen S1, a P,Q,R,S csúcsok síkja S3, a két sík középpárhuzamos síkja pedig S2. A kitölthetőséget külön vizsgáljuk az S1 és S2, illetve az S2 és S3 síkok közötti rétegekben.
Vegyük figyelembe, hogy a G gúla alaplapja 450-kal van elforgatva a K kockának ahhoz a lapjához képest, amelyre illeszkedik, tekintsük továbbá a vizsgált testet egy gúlából és egy csonkított kockából állónak.
Az S1 és S2 síkok közötti rétegben a négy test között éppen egy O csúcsú, és a G-vel egybevágó gúla helyezhető el, jelöljük ennek további csúcsait X, Y, Z és U-val. Az XYZU négyzet a négy test alaplapjához, és egyúttal a PQRS négyzethez képest is 450-kal van elforgatva, és ezeknek a pontoknak a vetülete a csúcsok S3 síkján éppen a PQRS négyzet oldalfelező pontjai. Ezért az XYZUPQRS csúcsú test a csonkított kockával egybevágó. Az S1 síkra tett négy test közé tehát éppen elhelyezhető egy velük egybevágó, PQRS alapú és O csúcsú ötödik.
A tér tehát kitölthető a 2437. sz. gyakorlatban leírt test egybevágó példányaival. A kitöltést úgy végezhetjük, hogy az S1 síkon fölvett 6cm élű négyzetrács négyzeteire, mint alaplapokra helyezzük a test egy-egy példányát, és bármely négy olyan közé, amelyek alapjának van közös pontja, beállítunk egyet ‐ fordítva. Így kitölthetjük a térnek két, egymástól 12cm távolságra lévő párhuzamos síkja közti részét, és akkor az egész teret is.
 
 
a füzet hátsó borítóján szereplő ábra
 


*Lásd a Gy. 2437. megoldását e szám 121. oldalán.