Feladat: F.2639 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bánkövi Johanna ,  Beke T. ,  Benczúr A. ,  Bereczky Á. ,  Binder Zsuzsanna ,  Cynolter G. ,  Gács A. ,  Hahn Zsuzsa ,  Hajdú G. ,  Hajnal Z. ,  Kecskés K. ,  Keleti T. ,  Madas P. ,  Majoros L. ,  Rimányi R. ,  Sustik M. ,  Szalay Gy. ,  Talata I. ,  Talata István ,  Tasnádi T. ,  Tóth 178 G. ,  Veres E. ,  Vörös T. ,  Zaránd G. 
Füzet: 1987/november, 379 - 380. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nevezetes azonosságok, Csebisev-féle egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1987/május: F.2639

Bizonyítsuk be, hogy ha a1, a2, ..., an pozitív valós számok, akkor
111+a1+11+a2+...+11+an-11a1+1a2+...+1an1n.


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Előre kell bocsátanunk, hogy a feladat kitűzésekor az egyenlőtlenség iránya hibásan, fordítva jelent meg.

*
(A feladat helyesen:
Bizonyítsuk be, hogy ha a1, a2, ..., an pozitív valós számok, akkor
111+a1+11+a2+...+11+an-11a1+1a2+...+1an1n.)
*
A megoldáshoz egy ismert Csebisev-féle egyenlőtlenséget használunk fel.
 

Ha b1, b2, ..., bn valamint c1, c2, ..., cn a valós számoknak két, egyformán rendezett sorozata (azaz mindkettő növekvő, vagy mindkettő csökkenő), akkor az egyes sorozatok számtani középértékeinek szorzata legfeljebb akkora, mint a megfelelő elemek szorzatainak számtani középértéke, vagyis
b1+b2+...+bnnc1+c2+...+cnnb1c1+b2c2+...+bncnn.
(Bizonyítása megtalálható pl. a Matematikai versenytételek II. Rész 45. oldalán, Középiskolai Szakköri Füzetek.)
A feladatban szereplő a1, a2, ..., an pozitív valós számok sorrendjének nincs kitüntetett szerepe, ezért az általánosság megszorítása nélkül előírhatjuk, hogy a1a2...an>0 teljesüljön.
Legyen bi=1ai és ci=11+ai (i=1,2,...,n). Ekkor nyilván b1b2...bn és c1c2...cn, ezért a Csebisev-féle egyenlőtlenség fennáll ezekre a mennyiségekre. A bizonyítás most már azon múlik, hogy esetünkben bici=bi-ci (i=1, 2, ..., n). Ennek alapján
b1+b2+...+bnnc1+c2+...+cnnb1+b2+...+bnn-c1+c2+...+cnn.
A kapott egyenlőtlenség mindkét oldalát a pozitív
(b1+b2+...+bn)(c1+c2+...+cn)n-nel
elosztva éppen a bizonyítandó állítást kapjuk.
A Csebisev-féle egyenlőtlenség levezetésének ismeretében azt is megállapíthatjuk, hogy egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn a két oldal között, ha a1=a2=...=an.
 

Megjegyzés. Egy hibás állítást elintézhetünk egyetlen ellenpéldával, a megoldók zöme azonban nem érte be ennyivel, hanem rájött a hiba mibenlétére, és a helyes állítást be is bizonyította. Ők dolgozatukra a maximális pontszámot kapták. A csupán ellenpéldát beküldők munkáját 2 pontra értékeltük. Második megoldással az 5 pont mellé további két pontot lehetett szerezni.