A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A vizsgált állítás az esetben igaz. Konvex sokszögekre ugyanis a pozitív félsíkok közös része maga a sokszög, és minden háromszög konvex.
1. ábra Megmutatjuk, hogy az állítás igaz az és az esetekben is. Legyen először . Fenti észrevételünk szerint konvex ötszögre igaz az állítás. Ha az ötszög nem konvex, akkor legfeljebb két konkáv szöge lehet, amelyek vagy szomszédosak, vagy nem. Az első esetben ‐ az 1. ábra jelöléseit használva ‐ a és a pontok az ötszög konvex burkának belső pontjai. Ezért és az ötszög egy belső pontjában metszik egymást, az és az szakaszokat pedig egy-egy belső pontjukban, a -ban illetve a -ben. A pozitív félsíkok közös része tehát az konvex négyszög, ami biztosan nem üres.
2. ábra A második esetben legyen az és csúcsoknál konkáv szög (2. ábra). Ekkor az oldalakra illeszkedő pozitív félsíkok közös része tartalmazza az szakaszt, ezért nem üres. Az eset hasonlóan vizsgálható, mint az előbb tárgyalt első.
3. ábra Ha , akkor az állítás nem igaz, amint azt a 3. ábrán látható sokszög és oldalaira illesztett pozitív félsíkok mutatják. A feladat állítása tehát az esetekben igaz. |
|