Feladat: F.2618 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1987/október, 295 - 296. oldal  PDF file
Témakör(ök): Halmazok számossága, Egyéb sokszögek geometriája, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Feladat, Ponthalmazok
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1987/január: F.2618

Egy egyszerű sokszög síkját a sokszög minden oldalegyenese egy pozitív és egy negatív félsíkra osztja. Az óramutató járásával ellentétes irányban körüljárva a sokszög kerületén, mindig a bal kezünk felé eső félsíkot nevezzük pozitívnak.
Milyen n-ekre igaz a következő állítás: az oldalegyenesekre illeszkedő pozitív félsíkok közös része egyetlen n-oldalú, önmagát nem metsző sokszögre sem üres?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A vizsgált állítás az n=3 esetben igaz. Konvex sokszögekre ugyanis a pozitív félsíkok közös része maga a sokszög, és minden háromszög konvex.

 
 
1. ábra
 

Megmutatjuk, hogy az állítás igaz az n=4 és az n=5 esetekben is. Legyen először n=5. Fenti észrevételünk szerint konvex ötszögre igaz az állítás. Ha az ötszög nem konvex, akkor legfeljebb két konkáv szöge lehet, amelyek vagy szomszédosak, vagy nem. Az első esetben ‐ az 1. ábra jelöléseit használva ‐ a B és a C pontok az ötszög ADE konvex burkának belső pontjai. Ezért AB és DC az ötszög egy F belső pontjában metszik egymást, az ED és az AE szakaszokat pedig egy-egy belső pontjukban, a H-ban illetve a G-ben. A pozitív félsíkok közös része tehát az FHEG konvex négyszög, ami biztosan nem üres.
 
 
2. ábra
 

A második esetben legyen az E és C csúcsoknál konkáv szög (2. ábra). Ekkor az oldalakra illeszkedő pozitív félsíkok közös része tartalmazza az EC szakaszt, ezért nem üres.
Az n=4 eset hasonlóan vizsgálható, mint az előbb tárgyalt első.
 
 
3. ábra
 

Ha n6, akkor az állítás nem igaz, amint azt a 3. ábrán látható sokszög BC és ED oldalaira illesztett pozitív félsíkok mutatják.
A feladat állítása tehát az 5n(3) esetekben igaz.