|
Feladat: |
F.2615 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Beke T. , Benczúr A. , Bereczky Á. , Binder Zsuzsanna , Bozó A. , Bukszár J. , Cynolter G. , Eckert B. , Fazekas Zs. , Figeczky G. , Fleischer T. , Gács A. , Hajdú G. , Horváth 963 J. , Jalsovszky P. , Juhász A. , Károlyi Gy. , Kecskés K. , Keleti T. , Kiss 303 B. , Klug R. , Kovács 123 L. , Lipták 182 L. , Lovro Adrienn , Lozsi I. , Madas P. , Majoros L. , Máté Nóra , Nagy 124 G. , Paál B. , Pál G. , Rimányi R. , Sass B. , Semsey B. , Sólyom B. , Szabó 484 P. , Szabó 639 A. , Szalay Gy. , Tass Z. , Tavaszi G. , Vargay P. , Veress Ágnes |
Füzet: |
1987/október,
293. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Diofantikus egyenletek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1987/január: F.2615 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Adott nemnegatív esetén jelöljük -val a mennyiséget, ha a gyökjelek száma (). Ha nem egész valamely -ra, akkor sem az, és így sem egész, hiszen egész szám négyzete is egész volna. Ebből következik, hogy ilyenkor semmilyen ra sem egész. Most három esetet különböztetünk meg: 1. Ha egész és nem négyzetszám, akkor nem racionális, és így nem is egész. Ebben az esetben tehát az , , , , sorozat egyetlen tagja sem egész, ezért a bal oldali gyökjelek számától függetlenül nincs egész megoldása az egyenletnek. 2. Ha , akkor minden -ra. Egyenletünknek ‐ megint a gyökjelek számától függetlenül ‐ megoldása az számpár. (Az ún. triviális megoldás.) 3. Ha és négyzetszám, akkor legyen , ahol egész. Ekkor tehát nem lehet egész. A bevezető megjegyzés szerint így , , , , sem egész, így ha a gyökjelek száma kettő vagy annál több, akkor alakú egész megoldása sem lehet az egyenletnek. Egy gyökjel esetén a egyenletet kapjuk, amelynek minden alakú számpár megoldása, ha egész. Összefoglalva: Az egyenlet egész megoldása az számpár. Ezenkívül csak akkor van megoldás, ha a bal oldalon csak egy gyökjel áll, ekkor pedig az összes egész számpár megoldás, . |
|