Feladat: F.2615 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Beke T. ,  Benczúr A. ,  Bereczky Á. ,  Binder Zsuzsanna ,  Bozó A. ,  Bukszár J. ,  Cynolter G. ,  Eckert B. ,  Fazekas Zs. ,  Figeczky G. ,  Fleischer T. ,  Gács A. ,  Hajdú G. ,  Horváth 963 J. ,  Jalsovszky P. ,  Juhász A. ,  Károlyi Gy. ,  Kecskés K. ,  Keleti T. ,  Kiss 303 B. ,  Klug R. ,  Kovács 123 L. ,  Lipták 182 L. ,  Lovro Adrienn ,  Lozsi I. ,  Madas P. ,  Majoros L. ,  Máté Nóra ,  Nagy 124 G. ,  Paál B. ,  Pál G. ,  Rimányi R. ,  Sass B. ,  Semsey B. ,  Sólyom B. ,  Szabó 484 P. ,  Szabó 639 A. ,  Szalay Gy. ,  Tass Z. ,  Tavaszi G. ,  Vargay P. ,  Veress Ágnes 
Füzet: 1987/október, 293. oldal  PDF file
Témakör(ök): Diofantikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1987/január: F.2615

n+n+n+...n=m.

Keressük meg a fenti egyenlet egész megoldásait!

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Adott nemnegatív n esetén jelöljük nk-val a n+n+...+n mennyiséget, ha a gyökjelek száma k (k1).
Ha nk nem egész valamely k-ra, akkor nk+n sem az, és így nk+1=n+nk sem egész, hiszen egész szám négyzete is egész volna. Ebből következik, hogy nj ilyenkor semmilyen j>k ra sem egész.
Most három esetet különböztetünk meg:
1. Ha n egész és nem négyzetszám, akkor n1 nem racionális, és így nem is egész. Ebben az esetben tehát az n1, n2, ..., nk, ... sorozat egyetlen tagja sem egész, ezért a bal oldali gyökjelek számától függetlenül nincs egész megoldása az egyenletnek.
2. Ha n=0, akkor nk=0 minden k-ra. Egyenletünknek ‐ megint a gyökjelek számától függetlenül ‐ megoldása az n=m=0 számpár. (Az ún. triviális megoldás.)
3. Ha n1 és négyzetszám, akkor legyen n=r2, ahol r1 egész. Ekkor

r<r2+r=n+r=n+n=n2<r+1,
tehát n2 nem lehet egész. A bevezető megjegyzés szerint így n3, n4, ..., nk, ... sem egész, így ha a gyökjelek száma kettő vagy annál több, akkor n=r21 alakú egész megoldása sem lehet az egyenletnek. Egy gyökjel esetén a n=m egyenletet kapjuk, amelynek minden (m2,m) alakú számpár megoldása, ha m1 egész.
Összefoglalva: Az egyenlet egész megoldása az n=m=0 számpár. Ezenkívül csak akkor van megoldás, ha a bal oldalon csak egy gyökjel áll, ekkor pedig az összes (m2,m) egész számpár megoldás, m1.