Kezdőlap


Feladat:	F.2579	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ligeti Zoltán
Füzet:	1986/november, 375. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Indirekt bizonyítási mód, Egész együtthatós polinomok, Prímszámok száma, Prímtényezős felbontás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/április: F.2579

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat állítását tetszőleges

\begin{matrix} Q (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{1} x + a_{0} (a_{n} \neq 0) \end{matrix}

egész együtthatós, legalább első fokú polinomra mutatjuk meg. Ha

a_{0} = 0

, akkor tetszőleges

q

prímszámra

q | Q (q)

, ezért ebben az esetben az állítás igaz. Tegyük föl ezután, hogy

a_{0} \neq 0

és csak véges sok

q_{1}

q_{2}

...

q_{k}

prím teljesíti a feladat követelnyeit. Helyettesítsük

x

helyébe az

\begin{matrix} N = a_{0}^{2} \cdot q_{1} \cdot q_{2} \cdot ... \cdot q_{k} \cdot t \end{matrix}

értéket, ahol

t

egyelőre tetszőleges egész. Ezzel

\begin{matrix} Q (a_{0}^{2} \cdot q_{1} \cdot q_{2} \cdot ... \cdot q_{k} \cdot t) = a_{0} (1 + a_{0} \cdot q_{1} \cdot q_{2} \cdot ... \cdot q_{k} \cdot T), \end{matrix}

ahol

T

egész szám. Mivel egy

n

-ed fokú polinom bármely valós értéket legfeljebb

n

-szer vehet fel,

t

megválasztható úgy, hogy

Q (N) / a_{0}

ne legyen sem 0, sem

- 1

, sem pedig 1. Ekkor az

(1 + a_{0} \cdot q_{1} \cdot q_{2} ... \cdot q_{k} \cdot T)

egész szám abszolút értéke legalább 2, tehát van prímosztója, mondjuk

q

. A

q

-nak persze valamennyi

q_{i}

-től

(i = 1, 2, ..., k)

különböznie kell. Ez a

q

egyúttal prímosztója

Q (N)

-nek is, ami ellentmond indirekt feltevésünknek. Tehát a feladat követelményeit teljesítő prímszámok száma nem lehet véges.