Feladat: F.2577 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baross Ágnes ,  Beke T. ,  Benczúr A. ,  Bereczky Á. ,  Bodor Cs. ,  Bóna M. ,  Csott R. ,  Cynolter G. ,  Dinnyés Enikő ,  Domokos M. ,  Fleiner T. ,  Fritz A. ,  Grallert Ágnes ,  Grallert Krisztina ,  Grósz T. ,  Gyuris V. ,  Hantosi Zs. ,  Horváth A. ,  Janszky J. ,  Jedlovszky P. ,  Jinda B. ,  Kecskés K. ,  Keleti T. ,  Kocsis Z. ,  Kovács 123 L. ,  Ligeti Z. ,  Marosi B. ,  Máté Nóra ,  Mátrai K. ,  Mongáth B. ,  Nagy 124 G. ,  Paál B. ,  Pál G. ,  Pálmai L. ,  Patthy Julianna ,  Ribényi Á. ,  Rimányi R. ,  Sass B. ,  Speczián A. ,  Szalay Gy. ,  Talata I. ,  Tasnádi T. ,  Tornyi L. ,  Zaránd G. 
Füzet: 1986/október, 303. oldal  PDF file
Témakör(ök): Indirekt bizonyítási mód, Sokszög lefedések, Négyzetek, Négyszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/március: F.2577

Földarabolható-e egy négyzet véges sok konkáv négyszögre?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy a kívánt feldarabolás lehetséges, és n darab konkáv négyszög keletkezett. A konkáv szögekhez tartozó csúcsok csak a négyzet belső pontjai lehetnek, hiszen ha egy csúcs a négyzet kerületén van, akkor a csúcshoz tartozó szög legfeljebb 180. Ezért legalább n darab csúcs van a négyzet belsejében, így az ezeknél a csúcsoknál elhelyezkedő szögek összege legalább n360. A feldaraboláskor keletkező konkáv négyszögek lefedik a négyzet négy derékszögét, ami további 490=360-ot ad. Ezért a lefedéshez szükséges szögek összegét számolva legalább (n+1)360 adódik, holott az n darab négyszög szögeinek összege n360. Ez ellentmondás, így a kérdezett feldarabolás nem lehetséges.

 

Megjegyzés. A feladat állítása tetszőleges konvex sokszögre is igaz, és ugyanígy bizonyítható.