Kezdőlap


Feladat:	F.2572	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bóna Miklós
Füzet:	1986/október, 303. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Oszthatósági feladatok, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/március: F.2572

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen $p = 2 k + 1$ és $q = 2 k - 1$ . A ${(2 k + 1)}^{m}$ binomiális tétel szerinti kifejtésében az utolsó előtti tag $m \cdot 2 k$ , az utolsó pedig $1$ , a többi tag osztható ${(2 k)}^{2}$ -nel. Hasonló igaz ${(2 k - 1)}^{n}$ -re, csak ott az utolsó két tag $n \cdot 2 k$ és $- 1$ , hiszen n páratlan. Így

\begin{matrix} p^{m} + q^{n} = 4 k^{2} \cdot M + 2 k (m + n), \end{matrix}

ahol

M

egész,

m + n

pedig páros. Ebből már láthatjuk, hogy

p^{m} + q^{n}

osztható

p + q = 4 k

-val.

II. megoldás. Írjuk a vizsgálandó összeget így:

p^{m} + q^{n} = (p^{m} - p^{n}) + (p^{n} + q^{n})

, és tegyük föl egyelőre, hogy

m \geq n

. Ennek következtében

m = n + 2 k

, ahol

k

nemnegatív egész. Ekkor

p^{m} - p^{n} = p^{n} (p^{2 k} - 1)

, ami osztható

(p^{2} - 1)

-gyel, és mivel

p + 1

páros,

2 (p - 1) = p + q

-val is. Ezért az első zárójelben lévő különbség osztható

(p + q)

-val. Mivel

n

páratlan, a második zárójelben is

(p + q)

-val osztható szám áll, ezért igaz a feladat állítása. Hasonlóan okoskodhatunk az

n > m

esetben.

III. megoldás. Legyen

p = 2 k + 1

q = 2 k - 1

. Ekkor

\begin{matrix} p^{m} - 1 = (p - 1) (p^{m - 1} + ... + 1); \\ q^{n} + 1 = (q + 1) (q^{n - 1} - ... + 1), \end{matrix}

ahol mindkét felbontásban a második zárójelben páratlan szám áll, jelölje ezeket

2 r + 1

, illetve

2 s + 1

, ahol

r

s

egész számok. Most már

\begin{matrix} p^{m} + q^{n} = (p - 1) \cdot (2 r + 1) + (q + 1) \cdot (2 s + 1) = 2 k (2 r + 2 s + 2) = 4 k (r + s + 1), \end{matrix}

ahol felhasználtuk, hogy

p - 1 = q + 1 = 2 k

. Tekintve, hogy

4 k = p + q

, igaz a feladat állítása.