Kezdőlap


Feladat:	F.2567	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Beke T. , Blahota I. , Cynolter G. , Ecsedi Erika , Fáskerti Zs. , Hartmann Klára , Horváth J. , Horváth N. , Kántor A. , Mátrai Katalin , Mészáros I. , Olasz-Szabó M. , Sass B. , Szalay Gy. , Székely Andrea , Weszelovszky Éva
Füzet:	1986/november, 367 - 368. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Permutációk, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/február: F.2567

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Végezzük el (2)-ben a négyzetre emeléseket, rendezzük az egyenletet, és osszunk 2-vel:

\begin{matrix} (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - x z - y z) = 34. \end{matrix}

(2')

Emeljük négyzetre (1)-et:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x y + 2 x z + 2 y z = 1. \end{matrix}

(1')

és ha most (1')-ből kivonjuk (2')-t, és osztunk 3-mal, akkor az

\begin{matrix} x y + x z + y z = - 11 \end{matrix}

(4)

egyenlethez jutunk.
Ha (3)-ban is elvégezzük a kijelölt műveleteket, akkor rendezés után kapjuk, hogy

\begin{matrix} (x y + x z + y z) (x + y + z) - 9 x y z = 16. \end{matrix}

Az utolsó sorban (4) és (1) alapján tudjuk, hogy a kisebbítendő

- 11

, ezt beírva és rendezve az

\begin{matrix} x y z = - 3 \end{matrix}

(5)

egyenletet kapjuk.
Ha tehát

x

y

z

megoldása a feladat egyenletrendszerének, akkor erre a három számra teljesül az

\begin{matrix} x + y + z = 1 & (1) \\ x y + y z + x z = - 11 & (4) \\ x y z = - 3 & (5) \end{matrix}

egyenletrendszer is. A továbbiakban ezt az egyenletrendszert oldjuk meg.
A gyökök és együtthatók közti összefüggések alapján most már felírható olyan harmadfokú egyenlet, amelynek

x

y

és

z

a gyökei, hiszen

\begin{matrix} (u - x) (u - y) (u - z) = u^{3} - (x + y + z) u^{2} + (x y + y z + z x) u - x y z . \end{matrix}

Az együtthatók értékét behelyettesítve az

\begin{matrix} u^{3} - u^{2} - 11 u + 3 = 0 \end{matrix}

(6)

egyenlethez jutunk. Ha

x

y

és

z

megoldása az (1), (2), (3) egyenletrendszernek, akkor ez a három szám ‐ valamilyen sorrendben ‐ a (6) egyenletnek is gyöke.
Bár a harmadfokú egyenlet megoldására létezik általános módszer, itt gyorsabban célhoz érünk, ha felhasználjuk azt az ismert tényt, hogy egész együtthatós polinom racionális gyökei véges sok lépésben megkaphatók: számlálójuk a polinom konstans tagjának, nevezőjük pedig a legmagasabb fokú tagnak az osztója. Esetünkben

u^{2}

együtthatója 1, így (6) racionális gyökei egészek, és az 1,

- 1

, 3,

- 3

halmazból valók.
Behelyettesítve a

- 3

valóban gyök, így az

(u + 3)

gyöktényező kiemelhető:

\begin{matrix} u^{3} - u^{2} - 11 u + 3 = (u + 3) (u^{2} - 4 u + 1) . \end{matrix}

A második tényező másodfokú, gyökei

2 + \sqrt[]{3}

és

2 - \sqrt[]{3}

.
Azt kaptuk, hogy ha

x

y

z

megoldása a feladat egyenletrendszerének, akkor

x

y

z

értéke (valamilyen sorrendben)

- 3

2 + \sqrt[]{3}

és

2 - \sqrt[]{3}

.
Ellenőrizve pl. az

x = - 3

y = 2 + \sqrt[]{3}

z = 2 - \sqrt[]{3}

értékhármast, ez valóban megoldása az egyenletrendszernek. Mivel az egyenletrendszer,

x

y

z

-ben szimmetrikus, e három érték tetszőleges permutációja megoldás, így összesen

3! = 6

megoldás van. Táblázatba foglalva az egyenletrendszer megoldása:

\begin{matrix} x & - 3 & - 3 & 2 + \sqrt[]{3} & 2 + \sqrt[]{3} & 2 - \sqrt[]{3} & 2 - \sqrt[]{3} \\ y & 2 + \sqrt[]{3} & 2 - \sqrt[]{3} & 2 - \sqrt[]{3} & - 3 & - 3 & 2 + \sqrt[]{3} \\ z & 2 - \sqrt[]{3} & 2 + \sqrt[]{3} & - 3 & 2 - \sqrt[]{3} & 2 + \sqrt[]{3} & - 3 \end{matrix}