Kezdőlap


Feladat:	F.2558	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beke Tibor
Füzet:	1986/május, 203 - 204. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Szinusztétel alkalmazása, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/december: F.2558

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Az állítás bal oldalát tekintve könnyen adódik a gondolat: vessük össze a koszinusztétellel:

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} = c^{2} + 2 a b cos γ = c^{2} + \frac{2 c^{2}}{λ} . \end{matrix}

Ebből

λ

-t kifejezve:

\begin{matrix} λ = \frac{c^{2}}{a b cos γ} = \frac{ctg α + ctg β}{ctg γ} . \end{matrix}

(1)

A bal oldalt a szinusztétel alapján átalakítjuk, és jobb oldalon is áttérünk a szinusz és a koszinusz-függvényekre:

\begin{matrix} \frac{sin^{2} γ}{sin α sin β cos γ} = \frac{\frac{cos α}{} sin α + \frac{cos β}{} sin β}{\frac{cos γ}{} sin γ} = \frac{(cos α sin β + sin α cos β) sin γ}{} sin α sin β cos γ, \end{matrix}

egyszerűsítés után kapjuk, hogy

\begin{matrix} sin γ = cos α sin β + cos β sin α = sin (α + β) . \end{matrix}

(2)

Miután

α, β

és

γ

egy háromszög szögei, (2) minden háromszögben igaz. Innen pedig (1) és így az állítás

a)

része is következik, hiszen a feltétel miatt

cos γ \neq 0, sin α \cdot sin β \cdot sin γ

pedig szintén nem

0

, így a lépések megfordíthatók.
b) Mivel a

(0, π / 2)

intervallumon a koszinusz-függvény szigorúan monoton csökkenő, elegendő azt belátnunk, hogy ha

λ = 2

, akkor

\begin{matrix} cos γ ≧ cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} . \end{matrix}

(1)-ből következik, hogy

λ = 2

esetében

c^{2} = 2 a b cos γ

. Ezt ismét a koszinusz tételbe beírva

\begin{matrix} cos γ = \frac{a^{2} + b^{2}}{4 a b} = \frac{{(a - b)}^{2} + 2 a b}{4 a b} ≧ \frac{1}{2} \end{matrix}

valóban, egyenlőség pedig csak

a = b

esetén lép fel.
Ezzel az állítást igazoltuk.