|
Feladat: |
F.2555 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Benczúr A. , Bereczky Á. , Blahota I. , Bóna M. , Bortel L. , Csott R. , Deák T. , Dinnyés Enikő , Domokos M. , Drasny G. , Erdélyi Z. , Gyuris V. , Habonyi V. , Hajdú G. , Hantos Zs. , Janszky J. , Jinda B. , Kántor A. , Keleti T. , Ligeti Z. , Madarász P. , Marokházi S. , Mátrai Katalin , Pálmai L. , Polyák Boglárka , Pongor G. , Sass B. , Soos Gy. , Szalai Gy. , Szokoly Gy. , Tasnádi T. , Vindics P. , Zaránd G. |
Füzet: |
1986/szeptember,
252 - 253. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Nevezetes azonosságok, Azonosságok, Logaritmusos egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1985/december: F.2555 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az egyenlőtlenség jobb oldala alakú, tehát darab darab és darab tényező szorzata. Alkalmazzuk erre az darab (pozitív) számra a számtani és mértani közép közti összefüggést. Kapjuk, hogy | | Itt nyugodtan -edik hatványra emelhetünk, mert mindkét oldal pozitív és -ra az függvény szigorúan monoton nő: | | (2) |
Ha megmutatjuk, hogy | | (3) | akkor innen (2) alapján következik a bizonyítandó állítás. Ismeretes, hogy (mert rendezés után az | | egyenlőtlenségbe megy át). A függvény esetén monoton nő, (3)-hoz tehát elegendő, ha De ismeretes, hogy az , , számok harmonikus közepe (ami éppen ), nem kisebb , , közül legkisebbnél. Minthogy , , , ebből valóban , következik. Ami az egyenlőséget illeti, (1)-ben pontosan akkor áll egyenlőség, ha (2)-ben is és (3)-ban is egyenlőség van. (2)-ben akkor és csak akkor van egyenlőség, ha mind az darab szám egyenlő, azaz . Ekkor is fennáll, tehát (3)-ban is egyenlőség van.
|
|