Feladat: F.2555 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Benczúr A. ,  Bereczky Á. ,  Blahota I. ,  Bóna M. ,  Bortel L. ,  Csott R. ,  Deák T. ,  Dinnyés Enikő ,  Domokos M. ,  Drasny G. ,  Erdélyi Z. ,  Gyuris V. ,  Habonyi V. ,  Hajdú G. ,  Hantos Zs. ,  Janszky J. ,  Jinda B. ,  Kántor A. ,  Keleti T. ,  Ligeti Z. ,  Madarász P. ,  Marokházi S. ,  Mátrai Katalin ,  Pálmai L. ,  Polyák Boglárka ,  Pongor G. ,  Sass B. ,  Soos Gy. ,  Szalai Gy. ,  Szokoly Gy. ,  Tasnádi T. ,  Vindics P. ,  Zaránd G. 
Füzet: 1986/szeptember, 252 - 253. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nevezetes azonosságok, Azonosságok, Logaritmusos egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/december: F.2555

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlőtlenség jobb oldala abcbaccab alakú, tehát bc darab a, ac darab b és ab darab c tényező szorzata.
Alkalmazzuk erre az (ab+ac+bc) darab (pozitív) számra a számtani és mértani közép közti összefüggést. Kapjuk, hogy

3abcab+bc+acabcbaccabab+bc+ac.
Itt nyugodtan n=(ab+bc+ac)-edik hatványra emelhetünk, mert mindkét oldal pozitív és x>0-ra az xn függvény szigorúan monoton nő:
(3abcab+ac+bc)ab+bc+acabcbaccab.(2)

Ha megmutatjuk, hogy
(3abcab+ac+bc)a2+b2+c2(3abcab+ac+bc)ab+ac+bc(3)
akkor innen (2) alapján következik a bizonyítandó állítás.
Ismeretes, hogy a2+b2+c2ab+ac+bc (mert rendezés után az
1/2[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]0
egyenlőtlenségbe megy át). A px függvény p1 esetén monoton nő, (3)-hoz tehát elegendő, ha p=3abcab+ac+bc=31a+1b+1c1.
De ismeretes, hogy az a, b, c számok harmonikus közepe (ami éppen p), nem kisebb a, b, c közül legkisebbnél. Minthogy a1, b1, c1, ebből valóban p1, következik.
Ami az egyenlőséget illeti, (1)-ben pontosan akkor áll egyenlőség, ha (2)-ben is és (3)-ban is egyenlőség van. (2)-ben akkor és csak akkor van egyenlőség, ha mind az (ab+bc+ac) darab szám egyenlő, azaz a=b=c. Ekkor a2+b2+c2=ab+bc+ac is fennáll, tehát (3)-ban is egyenlőség van.