Feladat: F.2546 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dringó László 
Füzet: 1986/április, 155 - 156. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nevezetes azonosságok, Geometriai egyenlőtlenségek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Térgeometria alapjai, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/október: F.2546

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy az állítás igaz.
Mivel az A, B és C pontok nem esnek egy egyenesbe, ezért meghatároznak egy síkot. Vegyünk fel egy térbeli derékszögű koordináta-rendszert úgy, hogy ez a sík megegyezzen az x és az y tengelyek által meghatározott síkkal. Az x- és y-tengelyt és az egységet úgy választjuk, hogy A koordinátái (-1;0;0), B koordinátái pedig (1;0;0) legyenek. A C pont koordinátái legyenek (c1;c2;0). Ekkor a feltétel szerint:
AB2≧CA2+CB2,
vagyis
4≧[(c1+1)2+c22]+[(c1-1)2+c22].
Rendezve
1≧c12+c22.(1)

A tér egy tetszőleges X pontjának a koordinátái legyenek (x;y;z)! Ekkor a kérdéses állítás az alábbi alakba írható:
(x-c1)2+(y-c2)2+z2≦[(x+1)2+y2+z2]+[(x-1)2+y2+z2].
Rendezve:
(x+c1)2+(y+c2)2+z2+2(1-c12-c22)≧0.

Ez viszont a szereplő változók minden értékére teljesül, mert az első három tag egy-egy valós szám négyzete, és így nemnegatív, az utolsó tag pedig (1) miatt nemnegatív. Mivel ez az egyenlőtlenség ekvivalens eredeti állításunkkal, ezért az állítást igaznak találtuk.