Feladat: F.2543 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1986/március, 110. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Függvények, Függvényegyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/október: F.2543

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az azonosan 0 függvény kielégíti a feladat feltételét. Megmutatjuk, hogy más függvényre az nem teljesül.
Legyen a, b, c tetszőleges valós számhármas. Alkalmazzuk az (1) egyenlőséget x=a, y=b, z=c választással:

f(a,b,c)=2f(c,a,b).
Alkalmazzuk most (1)-et x=c, y=a, z=b választással és szorozzunk kettővel:
2f(c,a,b)=4f(b,c,a).
Végül alkalmazzuk (1)-et x=b, y=c, z=a választással és szorozzunk néggyel:
4f(b,c,a)=8f(a,b,c).

A három kapott egyenlőséget összehasonlítva f(a,b,c)=8f(a,b,c), vagyis 7f(a,b,c)=0, ahonnan f(a,b,c)=0. A függvény értéke tehát tetszőleges a,b,c számhármasra nulla, ahogyan állítottuk.
 

Megjegyzés. 2 helyett tetszőleges λ számra, három helyett tetszőleges n változós függvényre ugyanígy bizonyítható, hogy ha minden (x1, ..., xn) valós szám n-esre
f(x1,x2,...,xn)=λf(xn,x1,...,xn-1),
akkor f azonosan nulla.