Feladat: F.2536 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1986/február, 64 - 65. oldal  PDF file
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/szeptember: F.2536

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:
x12+x22+x32+x42=50,
x12-x22+x32-x42=-24,(1)
x1x3=x2x4,
x1-x2+x3+x4=0.

Az első két egyenlet összegéből x12+x32=13, az első és a második egyenlet különbségéből pedig x22+x42=37 adódik.
A negyedik egyenletből rendezés útján kapott x1+x3=x2-x összefüggést négyzetre emelve kapjuk, hogy
x12+x32+2x1x3=x22+x2-4-2x2x4,
ahonnan a négyzetösszegekre talált értékek alapján
2x1x3+2x2x4=24.
A harmadik egyenlet szerint tehát x1x3=x2x4=6. Innen az alábbi két egyenletrendszert kapjuk:

I. x12+x32   =13II. x22+x42=37x1x3=6x2x4=6.


I-ből |x1+x3|=5 és |x1-x3|=1, II-ből pedig |x2+x4|=7 és |x2-x4|=5.
Ha most az abszolút érték jeleken belül álló mennyiségek előjelét egymástól függetlenül választhatnánk meg, akkor az egyenletrendszernek 24=16 megoldása volna. Mivel azonban x1+x3=x2-x4, e két mennyiség előjele megegyezik, ezért a megoldások száma 8. Ezeket az alábbi táblázatban foglaltuk össze:
 


  x1+x3     5      5      5      5     -5     -5     -5     -5     x1-x3     1     -1      1     -1      1      -1      1     -1     x2+x4     7      7     -7     -7      7      7     -7     -7     x2-x4     5      5      5      5     -5     -5     -5     -5    x1    3      2      3      2     -2     -3     -2     -3    x2    6      6     -1     -1      1      1     -6     -6    x3    2      3      2      3     -3     -2     -3     -2    x4    1      1     -6     -6      6      6     -1     -1   
 

Mivel a kapott megoldások I illetve II gyökeiből állnak elő, az eredeti egyenletrendszer első három egyenlete teljesül rájuk, a negyedik egyenlet pedig az x1+x3=x2-x4 választás miatt teljesül. Ezzel a feladatot megoldottuk.