Feladat: F.2531 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kós Géza 
Füzet: 1985/november, 380 - 381. oldal  PDF file
Témakör(ök): Osztók száma, Oszthatóság, Indirekt bizonyítási mód, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/május: F.2531

Jancsi felírta egymás után 1-től 1975-ig az egész számokat. Az így kapott 123...19741975 számról azt állítja, hogy annak 25323 osztója van. Pista szerint ennek a számnak csak 25322 osztója van. Igazoljuk, hogy mindketten tévedtek.

Legyen N prímtényezős alakja p1α1, p2α2, ..., piαi. A számelmélet alaptétele szerint N minden osztója p1β1, p2β2, ..., pjβj alakú, ahol 0βiαi ha i=1,2,...,j, és ezek valamennyien különböző osztók. N-nek tehát annyi osztója van, ahányféleképpen a [β1,β2,...,βj] szám-j-eseket ki tudjuk választani úgy, hogy 0β1α1, 0β2α2, ..., 0βjαj teljesüljön. Miután pedig az egyes βi-ket egymástól függetlenül (1+αi)-féleképpen választhatjuk ki, N-nek (1+α1), (1+α2), ..., (1+αj) darab osztója van.
Jancsi szerint ez a szám páratlan, tehát minden (1+αi) tényező páratlan, s így minden αi páros. De ebből következik, hogy N négyzetszám. Márpedig négyzetszám nem végződhet 75-re, Jancsi tehát biztosan tévedett.
Másrészt N osztható 52-nel, de nem osztható 53=125-tel (ha osztható volna 125-tel, akkor 125-re, 250-re, 375-re, 500-ra, 625-re, 750-re, 875-re vagy pedig 000-ra kellene végződnie). A pi-k között tehát szerepel az 5, a hozzá tartozó αi pedig éppen 2. Ekkor 1+αi=3, így az osztók száma osztható 3-mal. Pista viszont 3-mal nem osztható számot mondott, ezek szerint ő is biztosan tévedett.
 

 Kós Géza (Bp. Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.)
 dolgozata alapján