Feladat: F.2525 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bán Rita ,  Bóna Miklós ,  Boros Z. ,  Deák CS. ,  Gróf Andrea ,  Hetyei Judit ,  Limbek Cs. ,  Makay G. ,  Montágh B. ,  Németh-Buhin Á. ,  Olasz-Szabó M. ,  Regős G. ,  Sobor G. 
Füzet: 1985/november, 374 - 376. oldal  PDF file
Témakör(ök): Azonosságok, Abszolútértékes egyenlőtlenségek, Egyenlőtlenségek, Függvények differenciálhatósága, Függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/április: F.2525

Melyek azok az f függvények, amelyek minden x, y számpár mellett teljesítik, az
|f(x)-f(y)|(x-y)2(1)


egyenlőtlenséget?

I. megoldás. Ha f konstans függvény, akkor eleget tesz a feladat követelményének. Belátjuk, hogy más függvényre nem teljesül (1). Legyen ugyanis f a feladat követelményét teljesítő függvény, és legyen a<b. Osszuk fel az [a, b) intervallumot n egyenlő részre: x0=a, x1=a+b-an, ..., xj=a+jb-an, ..., xn=b. Ekkor
|f(b)-f(a)|=|i=0n-1f(xi+1)-f(xi)|i=0n-1|f(xi+1)-f(xi)|.(2)

(Itt felhasználtuk, hogy f minden valós számra értelmezve van, továbbá az abszolút értékekre vonatkozó |c1+...+cn||c1|+...+|cn| egyenlőtlenséget.) A feltétel szerint
|f(xi+1)-f(xi)|(xi+1-xi)2=(b-an)2
i=0,1,2,...,n-1-re. Ezt (2)-be beírva
0|f(b)-f(a)|n(b-an)2=(b-a)2n.

Mivel a kapott egyenlőtlenség minden n-re fennáll, |f(b)-f(a)| nem lehet pozitív. Így f(b)=f(a). a és b tetszőleges volt. Így az f függvény értéke bármely két helyen megegyezik, tehát f valóban konstans, ahogyan állítottuk.
 

 Bóna Miklós (Székesfehérvár, József A. Gimn., III. o. t.)
 
II. megoldás. Bebizonyítjuk, hogy a feladat kikötésének eleget tevő bármely f függvény mindenütt deriválható, és deriváltja azonosan nulla. Ugyanis a kikötés
|f(x)-f(y)x-y||x-y|
alakban írható. Ez tehát minden x, y-ra teljesül. Ha most x-et rögzítjük és y tart x-hez, akkor a jobb oldal nullához tart. A bal oldal nem negatív, tehát annak is nulla a határértéke. Azt kaptuk, hogy tetszőleges rögzített x-re
limxy|f(x)-f(y)x-y|=0,
s innen
f'(x)=limyxf(x)-f(y)x-y=0,
ahogy állítottuk.
Ismert tétel, hogy ha egy függvény mindenütt differenciálható, és differenciálhányadosa mindenütt nulla, akkor a függvény konstans. A feladat feltételének eszerint csak a konstans függvények tehetnek eleget, ezek pedig nyilván eleget is tesznek.
 

 Makay Géza(Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., III. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. A szereplő egyenlőtlenség helyett elég volna megkövetelni minden x, y számpárra az
|f(x)-f(y)|(x-y)1+ε
egyenlőtlenséget, ahol ε>0, rögzített szám. Mindkét megoldás ugyanígy elmondható ebben az esetben is. A megoldásokban csak annyit használunk ki, hogy (1) jobb oldalán (x-y)-nak olyan g függvénye áll, amelyre
limt0g(t)t=0.

2. Az első megoldás akkor is elmondható, ha f-ről csak annyit teszünk fel, hogy egy adott y érték mellett tetszőleges x-re teljesül (1).