Kezdőlap


Feladat:	F.2523	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gróf Andrea
Füzet:	1985/november, 372. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Csonkakúp, Terület, felszín, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/március: F.2523

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a csonkakúp alapköreinek sugarai $R$ és $r$ $(R > r)$ , síkjaik távolsága, a magasság $m$ , ez egyben a beírt félgömb sugara is.

A forgástengelyen átmenő bármely sík a csonkakúpból szimmetrikus trapézt, a félgömbből fél főkört metsz ki, és az utóbbi érinti a trapéz szárait. Az ábra jelölései mellett az

O A E

és

B A D

derékszögű háromszögek egybevágók,

A E = A D = R - r

, továbbá az érintések folytán

B E = B C = r

, így a csonkakúp oldalvonala

A B = R

, tehát

\begin{matrix} m^{2} = R^{2} - {(R - r)}^{2} = 2 R r - r^{2} . \end{matrix}

A térfogatok arányából viszont

\begin{matrix} \frac{2 π}{3} m^{3} = \frac{6}{7} \cdot \frac{m π}{3} (R^{2} + R r + r^{2}) (m \neq 0), \\ 3 (R^{2} + R r + r^{2}) = 7 m^{2} = 14 R r - 7 r^{2}, \\ 3 R^{2} - 11 R r + 10 r^{2} = 0, \end{matrix}

amiből

R / r

értékére két pozitív számot kapunk:

\begin{matrix} \frac{R}{r} = 2 és \frac{R}{r} = \frac{5}{3} . \end{matrix}

Mivel számításaink visszafelé is elvégezhetők, a kétféle csonkakúp meg is felel az adatoknak,

R = 2 r

, valamint

R = 5 r / 3

mellett, a félgömb sugara pedig

\begin{matrix} m = \sqrt[]{3} r, ill \sqrt[]{7 / 3} r . \end{matrix}

A palást és a félgömb felszíneinek arányára a kétféle méretezés szerint a megfelelő képletekbe való behelyettesítés útján

1

, ill.

20 / 21

adódik.