Feladat: F.2523 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Gróf Andrea 
Füzet: 1985/november, 372 - 373. oldal  PDF file
Témakör(ök): Csonkakúp, Terület, felszín, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/március: F.2523

Egy forgási csonkakúp méretei olyanok, hogy az a gömb, amelynek középpontja a nagyobbik alapkör középpontja és amely érinti a kisebbik alapkör síkját, egyben a palástfelületet is érinti. Tudjuk még, hogy a csonka kúpba eső félgömb térfogata annyi, mint a csonkakúp térfogatának a 6/7 része,
Mi az arány a palástfelszín és a félgömb felszíne között?

Legyenek a csonkakúp alapköreinek sugarai R és r (R>r), síkjaik távolsága, a magasság m, ez egyben a beírt félgömb sugara is.
 
 

A forgástengelyen átmenő bármely sík a csonkakúpból szimmetrikus trapézt, a félgömbből fél főkört metsz ki, és az utóbbi érinti a trapéz szárait. Az ábra jelölései mellett az OAE és BAD derékszögű háromszögek egybevágók, AE=AD=R-r, továbbá az érintések folytán BE=BC=r, így a csonkakúp oldalvonala AB=R, tehát
m2=R2-(R-r)2=2Rr-r2.

A térfogatok arányából viszont
2π3m3=67mπ3(R2+Rr+r2)(m0),3(R2+Rr+r2)=7m2=14Rr-7r2,3R2-11Rr+10r2=0,


amiből R/r értékére két pozitív számot kapunk:
Rr=2ésRr=53.

Mivel számításaink visszafelé is elvégezhetők, a kétféle csonkakúp meg is felel az adatoknak, R=2r, valamint R=5r/3 mellett, a félgömb sugara pedig
m=3r,ill7/3r.

A palást és a félgömb felszíneinek arányára a kétféle méretezés szerint a megfelelő képletekbe való behelyettesítés útján 1, ill. 20/21 adódik.
 

 Gróf Andrea (Veszprém, Lovassy L. Gimn., III. o. t.)