Feladat: F.2520 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Cynolter Gábor 
Füzet: 1985/november, 367 - 368. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nevezetes azonosságok, Sík egyenlete, Mértani helyek, Polinomok szorzattá alakítása, Térelemek és részeik, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/március: F.2520

Tekintsük a térnek azokat az (x,y,z) pontjait, melyekre x3+y3+z3=(x+y+z)3, és igazoljuk, hogy ezek 3 sík pontjai. Igaz-e, hogy a térnek azok a pontjai, amelyekre x5+y5+z5=(x+y+z)5, a térnek öt síkját alkotják?

a) Az első egyenlet jobb oldalán végezzük el a köbre emelést! A három változó köbei kiesnek, így az eredetivel ekvivalens
3(x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx2+2xyz)=0
egyenlethez jutunk. Csoportosítás után
3[(x2y+xy2)+(y2z+xyz)+(yz2+z2x)+(zx2+xyz)]=0
adódik. A bal oldalon mind a négy tagból kiemelhető x+y, és így kapjuk, hogy
3(x+y)(xy+yz+z2+xz)=3(x+y)(y+z)(z+x)=0.

Egy szorzat pontosan akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, így az x3+y3+z3=(x+y+z)3 egyenlet annak a ponthalmaznak az egyenlete, amelyek (x, y, z) koordinátáira vagy x+y=0 vagy y+z=0 vagy pedig z+x=0.
Ismeretes, hogy ezek egy-egy sík egyenletei, és ezek a síkok különbözők, mert az első a koordináta-rendszer z, a második az x, a harmadik pedig az y tengelyével párhuzamos, a további két-két tengellyel pedig rendre nem párhuzamosak. Ezzel igazoltuk a feladat állítását.
b) Tekintsük most a második egyenletet! Látható, hogy a fenti három sík pontjainak koordinátáira fennáll az egyenlőség, így ezek a síkok részei annak a ponthalmaznak, aminek ez az egyenlete. Kíséreljük meg az (x+y)(y+z)(z+x) szorzatot ennek alapján kiemelni az (x+y+z)5-(x5+y5+z5) kifejezésből. Kiderül, hogy
(x+y+z)5-(x5+y5+z5)=5(x+y)(y+z)(z+x)(x2+y2+z2+xy+yz+zx).(1)
A negyedik tényező a következőképpen alakítható:
x2+y2+z2+xy+yz+zx=12[(x+y)2+(y+z)2+(z+x)2].
Innen látszik, hogy (1) jobb oldalán a negyedik tényező nem negatív és pontosan akkor nulla, ha x+y=y+z=z+x=0, azaz ha x=y=z=0. A P(0, 0, 0) pont mindhárom előbbi síkra illeszkedik.
A feladat kérdésére tehát tagadó a válasz, az
x5+y5+z5=(x+y+z)5
ugyanannak a három síknak az egyenlete, mint az x3+y3+z3=(x+y+z)3.
 

 Cynolter Gábor (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)