Kezdőlap


Feladat:	F.2516	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1985/november, 367. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/február: F.2516

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $A O B ∢ = β (< 90^{\circ})$ , $A O C ∢ = D O B ∢ = α$ $(0 < α < β)$ , ekkor

\begin{matrix} e_{1} = r tg β, e_{2} = r tg α és e_{3} = r tg (β - α), \end{matrix}

ahol

r

a kör sugara.

Így a vizsgálandó kifejezés:

\begin{matrix} \frac{e_{1} e_{2} e_{3}}{e_{1} - e_{2} - e_{3}} = \frac{r tg β \cdot r tg α \cdot r tg (β - α)}{r tg β - r tg α - r tg (β - α)} = r^{2} \frac{tg β tg α \cdot \frac{tg β - tg α}{1 + tg β tg α}}{tg β - tg α - \frac{tg β - tg α}{1 + tg β tg α}} = \\ = r^{2} \frac{tg β tg α (tg β - tg α)}{(tg β - tg α) (1 + tg β - tg α - 1)} = r^{2}, \end{matrix}

vagyis a kifejezés értéke valóban független

C

és

D

megválasztásától, sőt a korlátozások megtartása mellett

A

és

B

választásától is.
Kihasználtuk, hogy

C

és

D

az ív belső pontjai, ha ugyanis

C

egybeeshetne

A

-val,

B

-vel, akkor az (1) kifejezés értelmetlenné válna. Nem lényeges, hogy

C

és

D

közül melyik van közelebb

A

-hoz, hiszen a kifejezés

e_{2}

e_{3}

-ra nézve szimmetrikus.

Megjegyzés. A kifejezés ‐ inkább a

C = D

, azaz

e_{2} = e_{3}

speciális esetben ‐ alkalmas a következő régészeti kérdés megválaszolására. Egy ásatásnál ívelt alaprajzú kőfal részeire bukkantak, és az árkokban végzett mérésekkel becslést keresnek a hajdani toronybástya átmérőjére ‐ föltételezve természetesen, hogy az alaprajz kör.