Feladat: F.2516 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1985/november, 366 - 367. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometriai azonosságok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/február: F.2516

Az O közepű kör negyedkörnél kisebb AB ívén úgy vesszük fel a C, D belső pontokat, hogy az AC és BD ívek egyenlőek. Meghúzzuk az érintőket B-ben, C-ben, D-ben, az OA félegyenesig terjedő szakaszaik sorra e1, e2, e3. Bizonyítandó, hogy a következő kifejezés értéke független a C és D pontok választásától:
e1e2e3e1-e2-e3.


Legyen AOB=β(<90), AOC=DOB=α (0<α<β), ekkor
e1=rtgβ,e2=rtgαése3=rtg(β-α),
ahol r a kör sugara.
 
 

Így a vizsgálandó kifejezés:
e1e2e3e1-e2-e3=rtgβrtgαrtg(β-α)rtgβ-rtgα-rtg(β-α)=r2tgβtgαtgβ-tgα1+tgβtgαtgβ-tgα-tgβ-tgα1+tgβtgα==r2tgβtgα(tgβ-tgα)(tgβ-tgα)(1+tgβ-tgα-1)=r2,


vagyis a kifejezés értéke valóban független C és D megválasztásától, sőt a korlátozások megtartása mellett A és B választásától is.
Kihasználtuk, hogy C és D az ív belső pontjai, ha ugyanis C egybeeshetne A-val, B-vel, akkor az (1) kifejezés értelmetlenné válna. Nem lényeges, hogy C és D közül melyik van közelebb A-hoz, hiszen a kifejezés e2, e3-ra nézve szimmetrikus.
 

Megjegyzés. A kifejezés ‐ inkább a C=D, azaz e2=e3 speciális esetben ‐ alkalmas a következő régészeti kérdés megválaszolására. Egy ásatásnál ívelt alaprajzú kőfal részeire bukkantak, és az árkokban végzett mérésekkel becslést keresnek a hajdani toronybástya átmérőjére ‐ föltételezve természetesen, hogy az alaprajz kör.