Kezdőlap


Feladat:	F.2512	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Pálmai László
Füzet:	1985/november, 365 - 366. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Azonosságok, Egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Hatványközepek közötti egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/február: F.2512

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elegendő abban az esetben igazolnunk az egyenlőtlenségeket, ha $\frac{x}{y}$ , $\frac{y}{z}$ és $\frac{z}{x}$ pozitívak, mert ha vannak negatív tagok, akkor $x$ -et, $y$ -t és $z$ -t az abszolút értékével helyettesítve, a bal oldalak nem változnak, a jobb odalak értéke pedig nő. Ebből az is következik, hogy ha az egyenlőtlenségek így igazak, akkor biztosan nem állhat egyenlőség, ha $\frac{x}{y}$ , $\frac{y}{z}$ és $\frac{z}{x}$ valamelyike negatív.
Rendezzük (1)-et a bal oldalra és szorozzunk $2$ -vel:

\begin{matrix} 2 (\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{z^{2}} + \frac{z^{2}}{x^{2}} - \frac{y}{x} - \frac{z}{y} - \frac{x}{z}) ≧ 0. \end{matrix}

A bal oldal három négyzet összegeként írható fel, tehát nem negatív. Valóban:

\begin{matrix} 2 (\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{z^{2}} + \frac{z^{2}}{x^{2}} - \frac{y}{x} - \frac{z}{y} - \frac{x}{z}) = {(\frac{x}{y} - \frac{y}{z})}^{2} + {(\frac{y}{z} - \frac{z}{x})}^{2} + {(\frac{z}{x} - \frac{x}{y})}^{2} ≧ 0. \end{matrix}

Ezzel (1)-et beláttuk. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha a három négyzet mindegyike nulla, tehát ha

\frac{x}{y} = \frac{y}{z} = \frac{z}{x}

, azaz

x = y = z

.
(2) bizonyításához a négyzetes és számtani közép közti összefüggést használjuk fel. Eszerint

\begin{matrix} \frac{\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{z^{2}} + \frac{z^{2}}{x^{2}}}{3} ≧ \frac{{(\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x})}^{2}}{3}, \end{matrix}

(3)

és az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha

\frac{x}{y} = \frac{y}{z} = \frac{z}{x}

.
Másrészt a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség szerint

\begin{matrix} \frac{\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}}{3} ≧ \sqrt[3]{\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{z} \cdot \frac{z}{x}} = 1, \end{matrix}

és egyenlőség

\frac{x}{y} = \frac{y}{z} = \frac{z}{x}

esetén áll.
Ezt (3)-ba beírva:

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{z^{2}} + \frac{z^{2}}{x^{2}} ≧ \frac{\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}}{3} \cdot \frac{\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}}{3} ≧ \frac{\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}}{3}, \end{matrix}

és egyenlőség csak

\frac{x}{y} = \frac{y}{z} = \frac{z}{x}

, azaz

x = y = z

esetén áll.