Feladat: F.2512 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Pálmai László 
Füzet: 1985/november, 365 - 366. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nevezetes azonosságok, Azonosságok, Egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Hatványközepek közötti egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/február: F.2512

Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges, 0-tól különböző x, y, z valós számokra
x2y2+y2z2+z2x2yx+zy+xz,(2)
és
x2y2+y2z2+z2x2xy+yz+zx.(3)
Mikor áll fenn egyenlőség ?

Elegendő abban az esetben igazolnunk az egyenlőtlenségeket, ha xy, yz és zx pozitívak, mert ha vannak negatív tagok, akkor x-et, y-t és z-t az abszolút értékével helyettesítve, a bal oldalak nem változnak, a jobb odalak értéke pedig nő. Ebből az is következik, hogy ha az egyenlőtlenségek így igazak, akkor biztosan nem állhat egyenlőség, ha xy, yz és zx valamelyike negatív.
Rendezzük (1)-et a bal oldalra és szorozzunk 2-vel:
2(x2y2+y2z2+z2x2-yx-zy-xz)0.
A bal oldal három négyzet összegeként írható fel, tehát nem negatív. Valóban:
2(x2y2+y2z2+z2x2-yx-zy-xz)=(xy-yz)2+(yz-zx)2+(zx-xy)20.
Ezzel (1)-et beláttuk. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha a három négyzet mindegyike nulla, tehát ha xy=yz=zx, azaz x=y=z, (2) bizonyításához a négyzetes és számtani közép közti összefüggést használjuk fel. Eszerint
x2y2+y2z2+z2x23(xy+yz+zx)23,(3)
és az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha xy=yz=zx.
Másrészt a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség szerint
xy+yz+zx3xyyzzx3=1,
és egyenlőség xy=yz=zx esetén áll.
Ezt (3)-ba beírva:
x2y2+y2z2+z2x2xy+yz+zx3xy+yz+zx3xy+yz+zx3,
és egyenlőség csak xy=yz=zx, azaz x=y=z esetén áll.
 

 Pálmai László (Bp. Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.)