Kezdőlap


Feladat:	F.2509	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Cynolter Gábor
Füzet:	1985/október, 299 - 300. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Körülírt kör, Beírt kör, Körülírt kör középpontja, Beírt kör középpontja, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/január: F.2509

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $A B C$ háromszögben a beírt kör középpontja $O$ , a körülírt kör középpontja $K$ , a megfelelő sugarak rendre $r$ , illetve $R$ , a két pont távolsága $d$ .
Euler tétele^{$^{*}$} szerint minden háromszögben

\begin{matrix} d^{2} = R^{2} - 2 r R . \end{matrix}

(1)

Esetünkben a beírt kör átmegy a

K

ponton, így

d = r

, tehát

r^{2} = R^{2} - 2 r R

. Ebből

R = (\sqrt[]{2} + 1) r

, az

R / r

arány másik értéke negatív.

Legyen

A B C ∢ = β = 60^{\circ}

B A C ∢ = α

pedig a háromszög keresett legnagyobb szöge.

T

legyen az

O

pontból a

B C

oldalra bocsátott merőleges talppontja. Az

O B T

derékszögű háromszögben

O B

β

szög szögfelezője, ezért

O B T ∢ = 30^{\circ}

B O = 2 r

. Ezzel a

K O B

háromszög mindhárom oldalát ismerjük

r

függvényében.
Az

A B C

háromszög hegyesszögű, hiszen

K

belső pont, ezért

60^{\circ} ≦ α < 90^{\circ}

B K C ∢ = 2 α

, hiszen ez az

α

-hoz mint kerületi szöghöz tartozó középponti szög. A

B K C

egyenlő szárú háromszögben

K B C ∢ = K C B ∢ = \frac{180^{\circ} - 2 α}{2} = 90^{\circ} - α ≦ 30^{\circ}

.
Alkalmazzuk a koszinusztételt az

O B K

háromszögre:

\begin{matrix} O B K ∢ = O B T ∢ - K B C ∢ = 30^{\circ} - (90^{\circ} - α) = α - 60^{\circ} . \\ cos (α - 60^{\circ}) = \frac{B K^{2} + B O^{2} - O K^{2}}{2 B K \cdot B O} = \frac{2 \sqrt[]{2} - 1}{2}, & (2) \end{matrix}

ebből

α = 83, 91^{\circ}

(nem számítottuk át a töredék fokot).
Ez az érték megfelelő, hiszen ekkor (2)-ből

\begin{matrix} O K^{2} = d^{2} = R^{2} - 4 r^{2} - 2 (2 \sqrt[]{2} - 1) R r = R^{2} - 2 r R, \end{matrix}

az (1) miatt, ebből

R = (\sqrt[]{2} + 1) r

, és ezt (1)-be helyettesítve:

d^{2} = {(\sqrt[]{2} + 1)}^{2} r^{2} - 2 (\sqrt[]{2} + 1) r^{2} = r^{2},

tehát abban a háromszögben; amelynek szögei

83, 91^{\circ}

60^{\circ}

és

36, 09^{\circ}

, a beírt kör valóban átmegy a körülírt kör középpontján.

Megjegyzés. Annak bizonyítása, hogy a talált háromszög megfelel a követelménynek, majdnem minden dolgozatból hiányzott.

^{$^{*}$}A tétel bizonyítása megtalálható például Molnár Emil: Matematikai Versenyfeladatok gyűjteménye 1947‐1970 (Tankönyvkiadó, 1974) 285. oldal.