A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen az háromszögben a beírt kör középpontja , a körülírt kör középpontja , a megfelelő sugarak rendre , illetve , a két pont távolsága . Euler tétele szerint minden háromszögben Esetünkben a beírt kör átmegy a ponton, így , tehát . Ebből , az arány másik értéke negatív.
Legyen , pedig a háromszög keresett legnagyobb szöge. legyen az pontból a oldalra bocsátott merőleges talppontja. Az derékszögű háromszögben a szög szögfelezője, ezért , . Ezzel a háromszög mindhárom oldalát ismerjük függvényében. Az háromszög hegyesszögű, hiszen belső pont, ezért . , hiszen ez az -hoz mint kerületi szöghöz tartozó középponti szög. A egyenlő szárú háromszögben . Alkalmazzuk a koszinusztételt az háromszögre:
ebből (nem számítottuk át a töredék fokot). Ez az érték megfelelő, hiszen ekkor (2)-ből
| | az (1) miatt, ebből , és ezt (1)-be helyettesítve: tehát abban a háromszögben; amelynek szögei , és , a beírt kör valóban átmegy a körülírt kör középpontján.
Megjegyzés. Annak bizonyítása, hogy a talált háromszög megfelel a követelménynek, majdnem minden dolgozatból hiányzott.
A tétel bizonyítása megtalálható például Molnár Emil: Matematikai Versenyfeladatok gyűjteménye 1947‐1970 (Tankönyvkiadó, 1974) 285. oldal. |