Feladat: F.2509 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Cynolter Gábor 
Füzet: 1985/október, 299 - 300. oldal  PDF file
Témakör(ök): Derékszögű háromszögek geometriája, Körülírt kör, Beírt kör, Körülírt kör középpontja, Beírt kör középpontja, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/január: F.2509

Egy háromszög beírt köre átmegy a körülírt kör középpontján. A háromszög egyik szöge 60. Számítsuk ki a legnagyobb szögét!

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az ABC háromszögben a beírt kör középpontja O, a körülírt kör középpontja K, a megfelelő sugarak rendre r, illetve R, a két pont távolsága d.
Euler tétele* szerint minden háromszögben

d2=R2-2rR.(1)
Esetünkben a beírt kör átmegy a K ponton, így d=r, tehát r2=R2-2rR. Ebből R=(2+1)r, az R/r arány másik értéke negatív.
 
 

Legyen ABC=β=60, BAC=α pedig a háromszög keresett legnagyobb szöge. T legyen az O pontból a BC oldalra bocsátott merőleges talppontja. Az OBT derékszögű háromszögben OB a β szög szögfelezője, ezért OBT=30, BO=2r. Ezzel a KOB háromszög mindhárom oldalát ismerjük r függvényében.
Az ABC háromszög hegyesszögű, hiszen K belső pont, ezért 60α<90. BKC=2α, hiszen ez az α-hoz mint kerületi szöghöz tartozó középponti szög. A BKC egyenlő szárú háromszögben KBC=KCB=180-2α2=90-α30.
Alkalmazzuk a koszinusztételt az OBK háromszögre:
OBK=OBT-KBC=30-(90-α)=α-60.cos(α-60)=BK2+BO2-OK22BKBO=22-12,(2)


ebből α=83,91 (nem számítottuk át a töredék fokot).
Ez az érték megfelelő, hiszen ekkor (2)-ből
OK2=d2=R2-4r2-2(22-1)Rr=R2-2rR,

az (1) miatt, ebből R=(2+1)r, és ezt (1)-be helyettesítve: d2=(2+1)2r2-2(2+1)r2=r2, tehát abban a háromszögben; amelynek szögei 83,91, 60 és 36,09, a beírt kör valóban átmegy a körülírt kör középpontján.
 

Megjegyzés. Annak bizonyítása, hogy a talált háromszög megfelel a követelménynek, majdnem minden dolgozatból hiányzott.

*A tétel bizonyítása megtalálható például Molnár Emil: Matematikai Versenyfeladatok gyűjteménye 1947‐1970 (Tankönyvkiadó, 1974) 285. oldal.