Kezdőlap


Feladat:	F.2506	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Németh-Buhin Ákos , Tornyi Lajos
Füzet:	1985/november, 364 - 365. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Függvényvizsgálat, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/január: F.2506

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A bizonyítandó egyenlőtlenség ekvivalens a

\begin{matrix} \frac{2 sin x}{1 + cos x} - x > 0 \end{matrix}

(1)

egyenlőtlenséggel a

(0, \frac{π}{2})

intervallumban, s itt a bal oldal értelmezve van.

x = 0

-ban a bal oldal nulla. Ha tehát az

f (x) = \frac{2 sin x}{1 + cos x} - x

függvényről belátjuk, hogy szigorúan monoton növő a

[0, \frac{π}{2})

intervallumban, akkor abból az is következik, hogy

f (x) > f (0)

, s így (1) teljesül. Elég tehát belátni, hogy

f' (x)

[0, \frac{π}{2})

intervallumban létezik és pozitív, és hogy

f' (0) = 0

, mert ebből már következik, hogy

f (x)

szigorúan monoton növő a

[0, \frac{π}{2})

intervallumban. Mármost

0 ≦ x < \frac{π}{2}

esetén

\begin{matrix} f' (x) = \frac{2 cos x (1 + cos x) - 2 sin x (- sin x)}{{(1 + cos x)}^{2}} - 1 = \\ = \frac{2 cos x + 2 cos^{2} x + 2 sin^{2} x}{{(1 + cos x)}^{2}} - 1 = \frac{2 (cos x + 1)}{{(1 + cos x)}^{2}} - 1 = \\ = \frac{2}{1 + cos x} - 1 = \frac{1 - cos x}{1 + cos x} . \end{matrix}

Ha most

0 < x < π / 2

, akkor

0 < cos x < 1

, így

f' (x)

ebben az esetben valóban pozitív. Másrészt

f' (0) = \frac{1 - cos 0}{1 + cos 0}

, ami valóban

0

. Ezzel a bizonyítást befejeztük.

II. megoldás. Az egyenlőtlenség jobb oldala

\begin{matrix} \frac{2}{\frac{1}{sin x} + \frac{1}{tg x}} = \frac{2 sin x}{1 + cos x} = \frac{4 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}}{2 cos^{2} \frac{x}{2}} = 2 tg \frac{x}{2}, \end{matrix}

s ezek az átalakítások

0 < x < \frac{π}{2}

esetén elvégezhetők. Az egyenlőtlenség tehát az

\begin{matrix} \frac{x}{2} < tg \frac{x}{2} \end{matrix}

(2)

alakot ölti. Ismeretes, hogy ha

0 < y < \frac{π}{2}

, akkor

y < tg y

, márpedig (2)-ben

\frac{x}{2}

0

és

\frac{π}{4}

korlátok közé esik. Ezzel a feladat állítását beláttuk.