Kezdőlap


Feladat:	F.2501	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1985/november, 360 - 361. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Számelméleti függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/december: F.2501

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyenek az $n$ szám pozitív osztói $d_{1} < d_{2} < ... < d_{k}$ . Ha $n > 1$ , akkor $k ≧ 2$ , így az osztók között vannak különbözők. Tekintsük most az $\frac{n}{d_{1}} > \frac{n}{d_{2}} > ... > \frac{n}{d_{k}}$ számokat. $d_{i}$ pontosan akkor osztója $n$ -nek, ha $\frac{n}{d_{i}}$ is osztója $n$ -nek, vagyis ez a $k$ darab szám is az $n$ osztóinak felsorolása, csak fordított sorrendben.
Jelöljük $A$ -val $n$ osztóinak a számtani közepét. Ekkor

\begin{matrix} A = \frac{d_{1} + d_{2} + ... + d_{k}}{k} = \frac{\frac{n}{d_{1}} + \frac{n}{d_{2}} + ... + \frac{n}{d_{k}}}{k} = \\ = \frac{d_{1} + d_{2} + ... + d_{k} + \frac{n}{d_{1}} + \frac{n}{d_{2}} + ... + \frac{n}{d_{k}}}{2 k} . \end{matrix}

Tehát

A

d_{1}

d_{2}

...

d_{k}

\frac{n}{d_{1}}

\frac{n}{d_{2}}

...

\frac{n}{d_{k}}

számok számtani közepe is. E számok mértani közepe

\begin{matrix} G = \sqrt[2 k]{d_{1} d_{2} ... d_{k}, \frac{n}{d_{1}} \frac{n}{d_{2}} ... \frac{n}{d_{k}}} = \sqrt[2 k]{n^{k}} = \sqrt[]{n .} \end{matrix}

A számok között vannak különbözők, így

A > G = \sqrt[]{n}

, azaz a feladat állítása igaz.

II. megoldás. Az előző megoldás jelöléseivel

d_{1} = 1

, ezért

\begin{matrix} d_{1} + \frac{n}{d_{1}} = 1 + n > 2 \sqrt[]{n}, \end{matrix}

(1)

ami

{(\sqrt[]{n} - 1)}^{2} > 0

miatt igaz. Minden más

d_{i}

-re (

i = 2

3

...

k

-ra)

\begin{matrix} d_{i} + \frac{n}{d_{i}} ≧ 2 \sqrt[]{n}, \end{matrix}

(2)

ami

{({\sqrt[]{d}}_{i} - \sqrt[]{\frac{n}{d_{i}}})}^{2} ≧ 0

miatt igaz. Ha most (1)-et és (2)-t

i = 2

3

...

k

-ra összeadjuk, azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} d_{1} + \frac{n}{d_{1}} + d_{2} + \frac{n}{d_{2}} + ... + d_{k} + \frac{n}{d_{k}} > 2 k \sqrt[]{n} . \end{matrix}

(3)

Itt a bal oldal

\frac{n}{d_{1}} = d_{k}

\frac{n}{d_{2}} = d_{k - 1}

...

\frac{n}{d_{k}} = d_{1}

miatt

2 (d_{1} + d_{2} + ... + d_{k})

-val egyenlő. Ezért (3)-ból

\begin{matrix} A = \frac{d_{1} + d_{2} + ... + d_{k}}{k} > \sqrt[]{n} \end{matrix}

következik, ami éppen a feladat állítása.