Feladat: F.2501 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1985/november, 360 - 361. oldal  PDF file
Témakör(ök): Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Számelméleti függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/december: F.2501

Igaz-e, hogy az n(>1) természetes szám pozitív osztóinak számtani közepe nagyobb, mint n ?

I. megoldás. Legyenek az n szám pozitív osztói d1<d2<...<dk. Ha n>1, akkor k2, így az osztók között vannak különbözők. Tekintsük most az nd1>nd2>...>ndk számokat. di pontosan akkor osztója n-nek, ha ndi is osztója n-nek, vagyis ez a k darab szám is az n osztóinak felsorolása, csak fordított sorrendben.
Jelöljük A-val n osztóinak a számtani közepét. Ekkor
A=d1+d2+...+dkk=nd1+nd2+...+ndkk==d1+d2+...+dk+nd1+nd2+...+ndk2k.



Tehát A a d1, d2, ..., dk, nd1, nd2, ..., ndk számok számtani közepe is. E számok mértani közepe
G=d1d2...dk,nd1nd2...ndk2k=nk2k=n.

A számok között vannak különbözők, így A>G=n, azaz a feladat állítása igaz.
 
II. megoldás. Az előző megoldás jelöléseivel d1=1, ezért
d1+nd1=1+n>2n,(1)
ami (n-1)2>0 miatt igaz. Minden más di-re (i=2, 3, ..., k-ra)
di+ndi2n,(2)
ami (di-ndi)20 miatt igaz. Ha most (1)-et és (2)-t i=2, 3, ..., k-ra összeadjuk, azt kapjuk, hogy
d1+nd1+d2+nd2+...+dk+ndk>2kn.(3)
Itt a bal oldal nd1=dk, nd2=dk-1, ..., ndk=d1 miatt 2(d1+d2+...+dk)-val egyenlő. Ezért (3)-ból
A=d1+d2+...+dkk>n
következik, ami éppen a feladat állítása.