I. megoldás. Válasszuk a koordináta-rendszer $x$ és $y$ tengelyének a $BD\mathrm{,}$ ill. $AC$ átló egyenesét és jelöljük az első hat pont koordinátáit az alábbiak szerint:

A1B1;U1 az $A_1{C}_1;$ és $V_1$ a $B_1{D}_1$ egyenes azon pontja, amelynek vetülete $P\mathrm{,}U\mathrm{,}$ illetve $V$. $P_1{B}_1$ és $U_1{C}_1$ egyenesek $A_1$-ben metszik egymást, tehát egy síkban van ez a négy pont, és így $P_1{U}_1$ és $B_1{C}_1$ egyenes is egy síkban van. Nem párhuzamosak, mert vetületeik $Q$-ban metszik egymást. Ezért van egy $Q_1$ metszéspontjuk, és ennek vetülete $Q$. ‐ Hasonlóan látható, hogy $D_1{V}_1\mathrm{,}{A}_1{P}_1$ egy síkban van, azaz $A_1{D}_1$ és $P_1{V}_1$ metszi egymást $S_1$-ben, amelynek $S$ a vetülete.

 

 

Elég lenne belátni, hogy az $S_1{U}_1\mathrm{,}{Q}_1{V}_1$ és $D_1{C}_1$ egyenesek egy ponton mennek át, mert akkor ez igaz a vetületeikre is. Először is belátom, hogy páronként egy síkban vannak, de nincs mind egy síkban. Valóban, $C_1{U}_1$ és $D_1{C}_1$ benne van $A_1{D}_1$ és $A_1{C}_1$ síkjában, $S_1{U}_1$ és $Q_1{V}_1$ benne van $P_1{U}_1$ és $P_1{V}_1$ síkjában, $Q_1{V}_1$ és $D_1{C}_1$ pedig benne van $D_1{B}_1$ és $C_1{B}_1$ síkjában (három pont mindig egy síkban van). De ha mind egy síkban lennének, akkor ebben lenne a $Q_1{C}_1$ egyenes $B_1$ pontja és az $S_1{D}_1$ egyenes $A_1$ pontja is, csakhogy $A_1\mathrm{,}{B}_1\mathrm{,}{C}_1\mathrm{,}{D}_1$ nem voltak egy síkban. Elég tehát belátni, hogy 3 egyenes, $e\mathrm{,}f\mathrm{,}g$ közül; ha bármely kettő egy síkban van, akkor egysíkúak, párhuzamosak, vagy egy ponton mennek át. Ekkor ugyanis a vetületek, $CD\mathrm{,}SU\mathrm{,}QV$ vagy mind párhuzamosak, vagy létezik a metszéspont, és rajta van $CD$-n.
Legyen $e\mathrm{,}f\mathrm{,}g$ három ilyen egyenes ! Ekkor bármely kettő vagy metszi egymást, vagy párhuzamos. Három eset van: a) mind párhuzamos, b) kettő párhuzamos, a harmadik metszi őket, de ekkor benne van a síkjukban, c) páronként metszik egymást. Így vagy egy háromszög oldalegyenesei, tehát egysíkúak, vagy a három metszéspont egybeesik, és ezen a ponton megy át mindhárom egyenes. ‐ Ezzel a megoldást befejeztük.

 

Megjegyzés: A feladat lényegében ekvivalens Desargues tételével: ha két háromszög olyan helyzetű (a síkban vagy a térben), hogy egy-egy megfelelő szögpontjukat összekötő egyenesek egy ponton mennek át (vagy ha a $3$ egyenes párhuzamos egymással), akkor a megfelelő oldalegyenesek metszéspontjai egy egyenesen vannak. A tétel megfordítása is igaz, nálunk: a $CQU$ és $DVS$ háromszögek megfelelő oldalegyenespárjainak metszéspontjai $B\mathrm{,}P\mathrm{,}A$, ezért a megfelelő csúcspárok összekötő egyenesei $R$-ben metszik egymást.

---

^{${}^{*}$}Mi a megfordítást igazoljuk a párhuzamos szelők tételeinek kétszeri alkalmazásával: ha egy $e$ egyenes az oldalegyeneseket az $1$-es indexű pontokban metszi, akkor fennáll $3-3$ szakaszból képezett szorzatok közti egyenlőség, a jobb oldalt ellentett jellel véve.
Húzzuk meg $G$-n át az $e$-vel párhuzamos egyenest és jelöljük $EF$-fel való metszéspontját $H$-val.

 

 

Ekkor

$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{H{G}_1}{G_{1}F}=\frac{G{E}_1}{E_{1}F}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">és</span>}\frac{E{G}_1}{G_{1}H}=\frac{E{F}_1}{F_{1}G}\mathrm{,}}\end{array}$

amiből, egyes szakaszokat $\left(-1\right)$-gyel szorozva és egyben irányukat megfordítva

${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle -F{E}_1\cdot H{G}_1=-E_{1}G\cdot G_{1}F\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle -G{F}_1\cdot E{G}_1=+H{G}_1\cdot F_{1}E\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$

végül szorzással, egyszerűsítéssel az állítást kapjuk. ‐ Akkor is érvényes az egyenlőség, ha $e$ átmegy valamelyik csúcson.