Feladat: F.2496 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bodor Csaba 
Füzet: 1985/november, 359 - 360. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kocka, Testek szinezése, Klasszikus valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/november: F.2496

Egy kocka minden lapját pirosra, fehérre vagy zöldre színezzük. Az egyes lapok színét egymástól függetlenül véletlenszerűen választjuk. Minden színt egyforma valószínűséggel választunk. Mi a valószínűsége, hogy lesznek azonos színű szemközti lapok?

Könnyebb meghatározni annak az eseménynek a valószínűségét, hogy nem lesznek azonos színű szemközti lapok. Jelölje a kocka három egymással szemközti lappárjában a lapokat A és A', B és B', továbbá C és C'. Nyilvánvaló, hogy a feladat feltételei mellett független és egyformán valószínű az a három esemény, hogy A és A', B és B', illetve C és C' különböző színűek.
Ezért ha p-vel jelöljük annak valószínűségét, hogy két szemközti lap színe különböző, akkor p3 annak valószínűsége, hogy mindhárom szemközti lappár különböző színű. Így 1-p3 annak valószínűsége, hogy van azonos színű szemközti lappár. Ki kell még számolnunk p értékét.
Rögzítsük egy lap színét. A szemközti lap már csak két színt kaphat, s mindkettőt 1/3 valószínűséggel. Tehát bármi is az egyik lap színe, a szemközti lap 2/3 valószínűséggel lesz más színű. Ezek szerint p=23 annak a valószínűsége, hogy két kiválasztott szemközti lap különböző színű lesz.
Így 1-p3=1-(23)3=1927 valószínűséggel lesz azonos színű szemközti lappár a kockán.
 

 Bodor Csaba (Sepsiszentgyörgy, Matematika‐Fizika Líceum, XI. o. t.)