A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. minden -re. Egyenletünk tehát ekvivalens az egyenlettel. Ha , akkor , tehát a bal oldalon egy nem pozitív szám logaritmusa áll, ami értelmetlen. Elég tehát esetén vizsgálni a fenti egyenletet. (Ekkor , , tehát a bal oldal is értelmes.) A logaritmus függvény szigorúan monoton, tehát (1) ekvivalens a egyenlettel. Átalakítva: . Itt miatt a jobb oldal pozitív, tehát a bal oldal is, vagyis . Be fogjuk bizonyítani, hogy minden valós -re. Ebből esetén | | következik, vagyis egyenletünknek nincs megoldása. Hátra van még bizonyítása. Ha negatív, akkor a jobb oldal negatív, a bal oldal pozitív, tehát (2) igaz. Teljes indukcióval belátjuk, hogy ha az intervallumban van, akkor is igaz (2). Ebből (2) már minden -re következik. Legyen elsőként , pedig legyen a intervallumban. Ekkor , tehát (2) igaz. Tegyük fel, hogy egész, és hogy ha az intervallumba esik, akkor (2) igaz. Essen az intervallumba ! Legyen , ez az intervallumba esik, és ezért az indukciós feltevés miatt . Továbbá miatt | | amit állítottunk. Ezzel (2)-t bizonyítottuk, tehát az egyenletnek valóban nincs gyöke.
|