Kezdőlap


Feladat:	F.2495	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1985/október, 298 - 299. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletek, Logaritmusos egyenletek, Exponenciális egyenlőtlenségek, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/november: F.2495

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$x (1 - lg 2,5) = x (lg 10 - lg 2,5) = x lg 4 = lg 4^{x}$ minden $x$ -re. Egyenletünk tehát ekvivalens az

\begin{matrix} lg (2^{x} + x - 1) = lg 4^{x} \end{matrix}

(1)

egyenlettel. Ha

x ≦ 0

, akkor

2^{x} - 1 ≦ 0

, tehát a bal oldalon egy nem pozitív szám logaritmusa áll, ami értelmetlen. Elég tehát

x > 0

esetén vizsgálni a fenti egyenletet. (Ekkor

2^{x} - 1 > 0

x > 0

, tehát a bal oldal is értelmes.) A logaritmus függvény szigorúan monoton, tehát (1) ekvivalens a

\begin{matrix} 2^{x} + x - 1 = 4^{x}, x > 0 \end{matrix}

egyenlettel. Átalakítva:

x - 1 = 2^{x} (2^{x} - 1)

. Itt

x > 0

miatt a jobb oldal pozitív, tehát a bal oldal is, vagyis

x > 1

. Be fogjuk bizonyítani, hogy

2^{x} > x

minden valós

x

-re. Ebből

x > 1

esetén

\begin{matrix} 2^{x} (2^{x} - 1) > 2^{x} (x - 1) > 2 (x - 1) > x - 1 \end{matrix}

következik, vagyis egyenletünknek nincs megoldása.
Hátra van még

\begin{matrix} 2^{x} > x \end{matrix}

(2)

bizonyítása. Ha

x

negatív, akkor a jobb oldal negatív, a bal oldal pozitív, tehát (2) igaz. Teljes indukcióval belátjuk, hogy ha

x

[n, n + 1)

intervallumban van, akkor is igaz (2). Ebből (2) már minden

x

-re következik. Legyen elsőként

n = 0

x

pedig legyen a

[0, 1)

intervallumban. Ekkor

2^{x} > 2^{0} = 1 > x

, tehát (2) igaz. Tegyük fel, hogy

m ≧ 1

egész, és hogy ha

x

[m - 1, m)

intervallumba esik, akkor (2) igaz. Essen

x_{0}

[m, m + 1)

intervallumba ! Legyen

x_{0} - 1 = x

, ez az

[m - 1, m)

intervallumba esik, és ezért az indukciós feltevés miatt

2^{x} > x

. Továbbá

x ≧ 0

miatt

\begin{matrix} 2^{x_{0}} = 2^{x + 1} = 2 \cdot 2^{x} = 2^{x} + 2^{x} ≧ 2^{x} + 1 > x + 1 = x_{0}, \end{matrix}

amit állítottunk. Ezzel (2)-t bizonyítottuk, tehát az egyenletnek valóban nincs gyöke.