Feladat: F.2495 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1985/október, 298 - 299. oldal  PDF file
Témakör(ök): Exponenciális egyenletek, Logaritmusos egyenletek, Exponenciális egyenlőtlenségek, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/november: F.2495

Oldjuk meg az alábbi egyenletet:
x+lg(2x+x-1)=xlg2,5.(4)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

x(1-lg2,5)=x(lg10-lg2,5)=xlg4=lg4x minden x-re. Egyenletünk tehát ekvivalens az

lg(2x+x-1)=lg4x(1)
egyenlettel. Ha x0, akkor 2x-10, tehát a bal oldalon egy nem pozitív szám logaritmusa áll, ami értelmetlen. Elég tehát x>0 esetén vizsgálni a fenti egyenletet. (Ekkor 2x-1>0, x>0, tehát a bal oldal is értelmes.) A logaritmus függvény szigorúan monoton, tehát (1) ekvivalens a
2x+x-1=4x,x>0
egyenlettel. Átalakítva: x-1=2x(2x-1). Itt x>0 miatt a jobb oldal pozitív, tehát a bal oldal is, vagyis x>1. Be fogjuk bizonyítani, hogy 2x>x minden valós x-re. Ebből x>1 esetén
2x(2x-1)>2x(x-1)>2(x-1)>x-1
következik, vagyis egyenletünknek nincs megoldása.
Hátra van még
2x>x(2)
bizonyítása. Ha x negatív, akkor a jobb oldal negatív, a bal oldal pozitív, tehát (2) igaz. Teljes indukcióval belátjuk, hogy ha x az [n,n+1) intervallumban van, akkor is igaz (2). Ebből (2) már minden x-re következik. Legyen elsőként n=0, x pedig legyen a [0,1) intervallumban. Ekkor 2x>20=1>x, tehát (2) igaz. Tegyük fel, hogy m1 egész, és hogy ha x az [m-1,m) intervallumba esik, akkor (2) igaz. Essen x0 az [m,m+1) intervallumba ! Legyen x0-1=x, ez az [m-1,m) intervallumba esik, és ezért az indukciós feltevés miatt 2x>x. Továbbá x0 miatt
2x0=2x+1=22x=2x+2x2x+1>x+1=x0,
amit állítottunk. Ezzel (2)-t bizonyítottuk, tehát az egyenletnek valóban nincs gyöke.