|
Feladat: |
F.2493 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bajnok Z. , Bán Rita , Bárczy Zs. , Bereczky Á. , Bortel L. , Bugár I. , Csermely Ágnes , Czabarka Éva , Czuprák E. , Domokos M. , Hajdú S. , Heller Judit , Hetyei Judit , Hornyák Z. , Kiss E. , Krajnyák Kornélia , Lengyel 424 Cs. , Lipták L. , Makay G. , Mónos Z. , Montvai L. , Németh-Buhin Á. , Olasz-Szabó M. , Rimányi R. , Szabó 341 Z. , Szabó A. , Szalay Gy. , Szeier T. , Szirmai Á. , Werner P. |
Füzet: |
1985/április,
157 - 158. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Trigonometriai azonosságok, Poliéderek súlypontja, Térgeometriai bizonyítások, Szabályos tetraéder, Tetraéderek, Koszinusztétel alkalmazása, Szögfüggvények a térben, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1984/október: F.2493 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük a tetraéder körülírt gömbjét -vel, sugarát -rel, az alapháromszög körülírt körét -val, ennek középpontját -val és sugarát -rel, az alapélt -val, az szöget -vel. A kör egyrészt , másrészt az oldalélek egyenlősége folytán a körüli sugarú gömb metszésvonala, ezért rajta van a tengelyen és . Így a -ba beírt szabályos háromszög oldalaként adódik.
Az háromszögből a cosinustétel alapján | | tehát az állítás bal oldala így írható: | |
innen pedig az állítás helyessége nyilvánvaló. Egyenlőség esetén teljesül, akkor az 1/4 részében vágja ketté a súlyvonalat, a súlypont, tehát a tetraéder szabályos. Megjegyzés. A megoldások legtöbbje az paraméter függvényében vizsgálta a bal oldal változását. Ezáltal a vizsgálat bonyolultabb lett, mint a fentiekben, ahol a második tagon mit sem kellett változtatni. Számos dolgozat hiányos is lett azáltal, hogy helyzetét -nak csak az egyik oldalán vizsgálta. II. megoldás. Az állításban az -ból a csúcsokba húzott sugarak közti szögekről van szó. Mind a 4 csúcsot és a nyilvánvaló szimmetriát figyelembe véve mindkétféle szög 3-szor fordul elő. Ezen az észrevételen alapul a következő bizonyítás: Kifejtve | | Innen egyszerű átrendezéssel adódik az állítás. |
|