|
Feladat: |
F.2491 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Albert T. , Bán Rita , Bortel L. , Császár Cs. , Fancsik T. , Fülöp T. , Grallert Ágnes , Hajdú S. , Hetyei Judit , Jagicza P. , Karácsony P. , Kohári Zs. , Kós G. , Kovács 123 L. , Ligeti Z. , Limbek Csaba , Lipták 182 L. , Lövei P. , Németh-Buhin Á. , Ohnmacht R. , Paál Beatrix , Pálmai L. , Pfeil Tamás , Ratkó Julianna , Regős G. , Ribényi Á. , Szabó Sz. , Szigeti Z. , Tamás F. , Tornyi L. , Varga 135 L. |
Füzet: |
1985/április,
154 - 155. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Trigonometriai azonosságok, Körülírt kör, Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-féle egyenlőtlenség, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1984/október: F.2491 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen az adott pont , és a háromszög szokásos jelölései mellett , , rendre a , , oldaltól mért távolság. A bizonyítandóval ekvivalens egyenlőtlenséget kapunk négyzetre emelés útján. Ebben a bal oldal tagjait kéttényezős szorzatokká alakítjuk: ekkor alkalmazhatjuk rá ( megválasztással) az ún. Cauchy‐Bunjakovszkij-féle egyenlőtlenséget: | | (2) | Ha (2) jobb oldalát írjuk (1) négyzetének bal oldala helyére, új kérdésünk ez lesz: igaz-e még a következő is: | | (3) | Az első zárójel az háromszög területének a 2-szerese, független megválasztásától ‐ és ez még akkor is igaz, ha valamelyik oldalszakasz belső pontja ‐ , tehát ismert összefüggés alapján egyenlő -rel. Ezt beírva és átszorozva, a következőt akarjuk bizonyítani: | | ez pedig az s í. t. összefüggések alapján a következővel ekvivalens: | |
Alkalmazzuk e szorzatokra a következő azonosságot, amely az addíció tételekből következik:
Az első három tag mindegyike helyére 1-et írva a bal oldal nem csökken. Ha tehát igazoljuk, hogy evvel (1)-et is igazoltuk. Már most (5) bal oldala ismert azonosságok alkalmazásával
Az utolsó becslésben akkor áll egyenlőség, ha , de ez -ra és -ra is értendő, hiszen ekkor lesz . Különben is (5)-ben egyező szerepe volt a három szögnek. Ekkor , és (4)-ben, (3)-ban is egyenlőség érvényes. Mindezek szerint az (1) állítás helyes. Ha a háromszög szabályos és , vagyis , tehát a háromszög középpontja, akkor (1) két oldala egyenlő. Más esetben nem állhat egyenlőség. Megjegyzések. 1. A három , , távolságról és a háromszögről tulajdonképpen csak azt használtuk fel, hogy . Ez a derékszögű és a tompaszögű háromszögek belső pontjaira is érvényes, az , , távolságokat természetesen az oldalak egyeneseitől értve. Nem arról van tehát szó, hogy (1) csak hegyesszögű háromszögekre volna érvényes. Gondolva arra, hogy tompaszögű háromszög körülírt körének sugara sokszorosa is lehet még a legnagyobb oldalnak is, ezzel a nyomatékkal is mondhatnánk: 1) még hegyesszögű háromszögekben is érvényes, pedig ott ,,nehezebb''. 2. Pfeil Tamás (Dunaújváros, Münnich F. Gimn., IV. o. t.) megmutatta, hogy a kifejezés arra a pontra nézve maximális, ahol azok az , , Ceva-szakaszok futnak össze, amelyekre nézve az szögfelező végpontjának tükörképe a oldal felezőpontjára nézve és , az ugyanígy keletkező pontok. A bizonyításban felhasználta azt a cikket is, amely lapunk 1984. októberi számában jelent meg, akárcsak ez a feladat. Az egyenlőtlenség általában így szól | |
Valóban, a jobb és a bal oldal különbsége esetén így alakítható: | | innen látható, hogy egyenlőség akkor és csakis akkor teljesül, ha van olyan szám, hogy minden -re . (Lásd p1. Szakköri feladatgyűjtemény 435. feladat.) |
|