I. megoldás. Indirekt bizonyítunk, azaz feltesszük, hogy megadható a síkon végtelen sok pont, amelyek között fellépő távolságok között csak véges sok különböző van, és ebből ellentmondásra fogunk jutni. Legyenek a távolságok $d_1$, $d_2$, $d_3$, $\text{...}$, $d_n$. Legyen $P$ és $Q$ két pont a végtelen sok közül. A $P$ körüli $d_i$ sugarú kör legyen $k_i$, a $Q$ körüli $d_j$ sugarú kör pedig $l_j$. Feltételünk szerint minden pont rajta van a $k_1$, $k_2$, $\text{...}$, $k_n$ körök valamelyikén, és az $l_1$, $l_2$, $\text{...}$, $l_n$ körök valamelyikén is. A $k_1$ körnek az $l_1$, $l_2$, $\text{...}$, $l_n$ körökkel legfeljebb 2‐2 metszéspontja van, tehát legfeljebb $2n$ pont lehet a megadottak közül a $k_1$ körön. Ugyanez igaz a $k_2$, $k_3$, $\text{...}$, $k_n$ körökre. Ez összesen legföljebb $n\cdot 2n=2n^2$ pont, $P$-n és $Q$-n kívül. $2n^2$ véges szám, ami ellentmond annak, hogy végtelen sok pont volt megadva.
A keresett ellentmondást megkaptuk, az állítást bizonyítottuk.