Kezdőlap


Feladat:	F.2488	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Sipiczki Róbert
Füzet:	1985/szeptember, 251 - 253. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/október: F.2488

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük $b$ -vel az $x y z$ szorzatot és $a$ -val az $x + y + z$ összeget! Ha $b = 0$ , akkor $x$ , $y$ , $z$ valamelyike, mondjuk $x$ is nulla. A $4 x y z = (x + y) (x y + 2)$ egyenlet ekkor így alakul :

\begin{matrix} 0 = 2 y, vagyis y = 0. \end{matrix}

Ugyanígy kapjuk, hogy

z = 0

, ebben az esetben tehát az

x_{1} = y_{1} = z_{1} = 0

megoldást kapjuk. Hasonlóan erre a megoldásra vezet az

y = 0

és

z = 0

feltétel is, csak akkor a

4 x y z = (y + z) (y z + 2)

, illetve

4 x y z = (z + x) (x z + 2)

egyenletet használjuk.
A továbbiakban feltesszük, hogy

b \neq 0

, vagyis

x

y

z

egyike sem nulla. Egyenletrendszerünket most így írhatjuk fel:

\begin{matrix} 4 b = (a - z) (\frac{b}{z} + 2), \\ 4 b = (a - y) (\frac{b}{y} + 2), \\ 4 b = (a - x) (\frac{b}{x} + 2) . \end{matrix}

Vagyis ha

a

-t és

b

-t már ismerjük, akkor

x

y

és

z

a következő egyenlet megoldásai közül kerülhet csak ki :

\begin{matrix} 4 b = (a - u) (\frac{b}{u} + 2) . \end{matrix}

(2)

Ez az

u \neq 0

esetén ekvivalens a

\begin{matrix} 2 u^{2} + (5 b - 2 a) u - a b = 0 \end{matrix}

(3)

másodfokú egyenlettel, amelynek főegyütthatója nem nulla. Egy ilyen egyenletnek legföljebb két különböző megoldása lehet,

x

y

z

közül tehát legalább kettő egyenlő.
Ha

x = y = z

(és persze nullától különböznek), akkor (1) a

\begin{matrix} 4 x^{3} = 2 x (x^{2} + 2) \end{matrix}

alakra egyszerűsödik. Most oszthatunk

2 x

-szel, rendezés után

x^{2} - 2 = 0

, amiből két további megoldást kapunk :

\begin{matrix} x_{2} = y_{2} = z_{2} = \sqrt[]{2}, \\ x_{3} = y_{3} = z_{3} = - \sqrt[]{2} . \end{matrix}

Marad még az az eset, amikor

x

y

z

közül kettő (pl.

x

és

y

) egyenlő és a harmadik különbözik tőlük. Ekkor

x

és

z

is kielégíti (3)-at, így a két gyök

x

és

z

. A gyökök és együtthatók közötti összefüggés alapján

x z = - \frac{a b}{2}

. Tudjuk, hogy

b = x y z

a = x + y + z

és

x = y

, tehát

b = x^{2} z

a = 2 x + z

. Ezt beírva

\begin{matrix} x z = - \frac{x^{2} z (2 x + z)}{2} . \end{matrix}

Feltettük, hogy

x

és

z

nem nulla, tehát oszthatunk

x z

-vel, rendezés után

\begin{matrix} 2 x^{2} + x z + 2 = 0. \end{matrix}

(4)

Másrészt az egyenletrendszer első egyenletébe az

x = y

összefüggést helyettesítve

4 x^{2} z = 2 x (x^{2} + 2)

. Megint oszthatunk

2 x

-szel, a rendezés után

\begin{matrix} x^{2} - 2 x z + 2 = 0. \end{matrix}

Ehhez (4) kétszeresét adva

5 x^{2} + 6 = 0

adódik, aminek nincs megoldása a valós számok között. Beláttuk tehát, hogy ebben az esetben nincs megoldás.
Egyenletrendszerünknek tehát csak az

\begin{matrix} x_{1} = y_{1} = z_{1} = 0, x_{2} = y_{2} = z_{2} = \sqrt[]{2}, x_{3} = y_{3} = z_{3} = - \sqrt[]{2} \end{matrix}

számhármas tehet eleget. Könnyen ellenőrizhető, hogy e három számhármas valóban megoldása is az egyenletrendszernek.

II. megoldás: Az

(x + y) (x y + 2) = (y + z) (y z + 2)

egyenletből rendezés után az

\begin{matrix} (x - z) (y^{2} + x y + y z + 2) = 0 \end{matrix}

(5)

egyenlethez jutunk. Hasonlóan kapjuk az

\begin{matrix} (x - y) (z^{2} + x z + y z + 2) = 0 \end{matrix}

(6)

\begin{matrix} (y - z) (x^{2} + x y + x z + 2) = 0 \end{matrix}

(7)

egyenleteket. Ha

x

y

z

mindegyike különböző volna, akkor az egyenletek bal oldalán a második zárójelben álló kifejezéseknek kellene nullának lenniük, de akkor ezek összege is nulla volna, holott ezek összege éppen

{(x + y + z)}^{2} + 6

, ami biztosan pozitív.

x

y

z

közül tehát legalább kettő egyenlő. Ha például

x = y \neq z

, akkor (7) bal oldalán a második zárójelben áll nulla, tehát

\begin{matrix} 0 = x^{2} + x y + x z + 2 = 2 x^{2} + x z + 2. \end{matrix}

Másrészt a

4 x y z = (x + y) (x y + 2)

egyenlet

x = y

esetén

4 x^{2} z = 2 x (x^{2} + 2)

, azaz

\begin{matrix} 2 x (x^{2} + 2 - 2 x z) = 0 \end{matrix}

lesz. Az I. megoldásban már láttuk, hogy

x = 0

esetén az

\begin{matrix} x_{1} = y_{1} = z_{1} = 0 \end{matrix}

megoldáshoz jutunk. Ha

x \neq 0

, akkor a

\begin{matrix} 2 x^{2} + x z + 2 = 0, \end{matrix}

\begin{matrix} x^{2} - 2 x z + 2 = 0 \end{matrix}

egyenletrendszerhez jutunk, aminek (mint láttuk) valós számok között nincs megoldása. Maradt tehát az az eset, ha

x = y = z \neq 0

, ekkor az

\begin{matrix} x_{2} = y_{2} = z_{2} = \sqrt[]{2} és az x_{3} = y_{3} = z_{3} = - \sqrt[]{2} \end{matrix}

megoldásokat kapjuk. Egyenletrendszerünknek tehát három megoldása lehet, s ez a három számhármas meg is felel.