A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük -vel az szorzatot és -val az összeget! Ha , akkor , , valamelyike, mondjuk is nulla. A egyenlet ekkor így alakul : Ugyanígy kapjuk, hogy , ebben az esetben tehát az megoldást kapjuk. Hasonlóan erre a megoldásra vezet az és feltétel is, csak akkor a , illetve egyenletet használjuk. A továbbiakban feltesszük, hogy , vagyis , , egyike sem nulla. Egyenletrendszerünket most így írhatjuk fel:
Vagyis ha -t és -t már ismerjük, akkor , és a következő egyenlet megoldásai közül kerülhet csak ki : Ez az esetén ekvivalens a másodfokú egyenlettel, amelynek főegyütthatója nem nulla. Egy ilyen egyenletnek legföljebb két különböző megoldása lehet, , , közül tehát legalább kettő egyenlő. Ha (és persze nullától különböznek), akkor (1) a alakra egyszerűsödik. Most oszthatunk -szel, rendezés után , amiből két további megoldást kapunk :
Marad még az az eset, amikor , , közül kettő (pl. és ) egyenlő és a harmadik különbözik tőlük. Ekkor és is kielégíti (3)-at, így a két gyök és . A gyökök és együtthatók közötti összefüggés alapján . Tudjuk, hogy , és , tehát , . Ezt beírva Feltettük, hogy és nem nulla, tehát oszthatunk -vel, rendezés után Másrészt az egyenletrendszer első egyenletébe az összefüggést helyettesítve . Megint oszthatunk -szel, a rendezés után Ehhez (4) kétszeresét adva adódik, aminek nincs megoldása a valós számok között. Beláttuk tehát, hogy ebben az esetben nincs megoldás. Egyenletrendszerünknek tehát csak az | |
számhármas tehet eleget. Könnyen ellenőrizhető, hogy e három számhármas valóban megoldása is az egyenletrendszernek.
II. megoldás: Az egyenletből rendezés után az egyenlethez jutunk. Hasonlóan kapjuk az egyenleteket. Ha , , mindegyike különböző volna, akkor az egyenletek bal oldalán a második zárójelben álló kifejezéseknek kellene nullának lenniük, de akkor ezek összege is nulla volna, holott ezek összege éppen , ami biztosan pozitív. , , közül tehát legalább kettő egyenlő. Ha például , akkor (7) bal oldalán a második zárójelben áll nulla, tehát Másrészt a egyenlet esetén , azaz lesz. Az I. megoldásban már láttuk, hogy esetén az megoldáshoz jutunk. Ha , akkor a egyenletrendszerhez jutunk, aminek (mint láttuk) valós számok között nincs megoldása. Maradt tehát az az eset, ha , ekkor az | | megoldásokat kapjuk. Egyenletrendszerünknek tehát három megoldása lehet, s ez a három számhármas meg is felel.
|