Kezdőlap


Feladat:	F.2487	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Letenyei Krisztina
Füzet:	1985/február, 63. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térfogat, Pitagoraszi számhármasok, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/szeptember: F.2487

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tetraédereink $A B C$ és $A D C$ , ill. $F H E$ és $F H G$ lapjai egybevágó derékszögű háromszögek, hiszen oldalaik hossza sorra $5$ , $12$ és $13$ egység; az $A C = F H = 12$ egységnyi befogók mentén úgy csatlakoznak, hogy a derékszögek csúcsai $C$ -ben, ill. $H$ -ban egybeesnek. Így a $C A$ , ill. $H F$ él merőleges a $C B D$ , ill. $H G E$ lapra, tehát ezekre a lapokra állítva őket, a két test magassága egyenlő.

Egyenlő a

C B D

és

H G E

lapok (egyenlő szárú háromszögek) területe is, mert a

C

-ből, ill.

H

-ból kiinduló magasságuk

2 - 2

olyan derékszögű háromszögre bontja e lapokat, amelyeknek oldalai

3

4

és

5

.
Ennélfogva a két térfogat egyenlő.

Megjegyzések. 1. Mindkét tetraéder példa ún. racionális tetraéderre: mind a

6

élének és a térfogatának mértékszáma racionális. Az ilyenek térbeli megfelelői az ún. Herón-féle háromszögeknek. Általában nehezebb ilyet keresni, mint Herón-háromszögeket, de az itt látható különlegesség ‐ két egybevágó háromszög-lap, továbbá két egyenlő szárú háromszög-lap ‐ leutánozható az iskolai Függvénytáblázat Pitagorasz-féle számhármasai gyűjteményének keretében is: a

12

5

13

6

8

mérőszámok helyére pl. sorra ezeket írva:

9

40

41

24

32

.
2. Érkezett olyan ,,dolgozat'' is, amely szerint az egyik tetraéder ,,nem létezik''. Többek között az ilyesmik miatt teszünk éles különbséget a ,,megoldás'' és a ,,dolgozat'' szavak között.