Feladat: F.2487 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Letenyei Krisztina 
Füzet: 1985/február, 63. oldal  PDF file
Témakör(ök): Térfogat, Pitagoraszi számhármasok, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/szeptember: F.2487

Adottak az ABCD és EFGH tetraéderek éleinek hosszai:
 
AB=13,BC=5,CA=12,DA=13,DB=6,DC=5,EF=13,FG=13,GE=8,HE=5,HF=12,HG=5.

 
Melyik tetraéder térfogata nagyobb?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tetraédereink ABC és ADC, ill. FHE és FHG lapjai egybevágó derékszögű háromszögek, hiszen oldalaik hossza sorra 5, 12 és 13 egység; az AC=FH=12 egységnyi befogók mentén úgy csatlakoznak, hogy a derékszögek csúcsai C-ben, ill. H-ban egybeesnek. Így a CA, ill. HF él merőleges a CBD, ill. HGE lapra, tehát ezekre a lapokra állítva őket, a két test magassága egyenlő.

 
 

 
 

Egyenlő a CBD és HGE lapok (egyenlő szárú háromszögek) területe is, mert a C-ből, ill. H-ból kiinduló magasságuk 2-2 olyan derékszögű háromszögre bontja e lapokat, amelyeknek oldalai 3, 4 és 5.
Ennélfogva a két térfogat egyenlő.
 

Megjegyzések. 1. Mindkét tetraéder példa ún. racionális tetraéderre: mind a 6 élének és a térfogatának mértékszáma racionális. Az ilyenek térbeli megfelelői az ún. Herón-féle háromszögeknek. Általában nehezebb ilyet keresni, mint Herón-háromszögeket, de az itt látható különlegesség ‐ két egybevágó háromszög-lap, továbbá két egyenlő szárú háromszög-lap ‐ leutánozható az iskolai Függvénytáblázat Pitagorasz-féle számhármasai gyűjteményének keretében is: a 12, 5, 13, 6, 8 mérőszámok helyére pl. sorra ezeket írva: 9, 40, 41, 24, 32.
2. Érkezett olyan ,,dolgozat'' is, amely szerint az egyik tetraéder ,,nem létezik''. Többek között az ilyesmik miatt teszünk éles különbséget a ,,megoldás'' és a ,,dolgozat'' szavak között.