A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. a) Húzzuk meg a átlóval párhuzamos egyenest -n és -n át, és messe ez a , ill. egyenest -ben, ill. -ben.
1. ábra
Ekkor a párhuzamos szelők tétele és a föltevés szerint Ennélfogva ugyanezen tétel megfordítása szerint , továbbá ugyanígy . Ezek szerint a négyszög paralelogramma, és Jelöljük az átlók metszéspontját a paralelogrammában -val, az eredeti trapézban -vel. és az centrumra nézve hasonló helyzetű háromszögek, csúcsaik a felsorolás rendjében felelnek meg egymásnak, ennélfogva és pontjaik is egymás megfelelői. Ezért az átló -n is átmegy. Így pedig a és háromszögek -ra mint centrumra nézve hasonló helyzetűek. Mivel felezi -t, azért az szakaszt is felezi, tehát és a egyenesen -ra nézve szintén szimmetrikus helyzetű pontok, és így . Ezt kellett bizonyítanunk. Ha , akkor és egymás tükörképei -re, ekkor és egybeesik -vel. b) Ha az szakasz valamelyik meghosszabbításán van, akkor az és szakaszok ellentétes irányúak, tehát az arány értéke negatív lesz. És pedig amint az -n túl távolodik, a -tól szigorúan monoton csökken, de nem éri el a -et, ha pedig -n túl távolodik , akkor szigorúan monoton nő, de nem éri el a -et. Emiatt a föltételezett egyenlőség szerint a -n, ill. -n túli meghosszabbításon lesz. Megmarad, hogy és egymás megfelelői -re nézve, ugyanúgy és is, így pedig bizonyításunk betűről betűre érvényes marad. Ha speciálisan -t -ban választjuk, akkor a -ben lesz, ugyanígy egy megfelelő helyzet -ra és , de ilyenkor az állításnak nincs tartalma, mert és egyike határozatlan. II. megoldás. Mindjárt azt látjuk be, hogy az állítás az egyenes tetszőleges pontjára igaz, ha az arányokat előjellel együtt értjük. Láttuk az I. megoldás b) részében, hogy az így vett arány értéke egyértelműen meghatározza az , illetve pont helyzetét a egyenesen is, ezért a következő egyenlőséget bizonyítjuk:
2. ábra Így és a szakasz felezőpontjára nézve tükrös pontok, amiből az állítás következik.
3. ábra Húzzuk meg a párhuzamosokat -vel -n és -n át, és jelöljük a szemben levő szárra való metszéspontjukat -gyel, ill. -gyel, továbbá -vel és -vel való metszéspontjukat , -mal, ill. , -mal (3. ábra). Az és hasonló háromszögekből, majd a , és a , párokból | | egyenlő a trapéz párhuzamos oldalainak arányával. E bizonyításban , , , , , helyére sorra , , , , , -t írva és a 3-as indexek helyére 2-est, helyére -et, és ezt akartuk bizonyítani. Nem létezik a felhasznált és háromszög, illetve és , ha a két segédpárhuzamos egybeesik. Ekkor azonban és nyilvánvalóan felezik a szárakat, a föltételbeli arányok közös értéke 1, és az állítás szinte semmitmondó. Eredményünk így is kimondható : mialatt az száregyenesen halad, és a egyenesnek az aránypár által meghatározott pontja, az és az arányok értéke közös állandó, nem függ helyzetének megválasztásától. |