Kezdőlap


Feladat:	F.2482	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1985/április, 149 - 150. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Diofantikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/szeptember: F.2482

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A gyökjelek alatt nem-negatív számoknak kell állniuk, mivel a gyökkitevő mindkét oldalon páros (pozitív) egész. Így $m p \geq p$ és $n \geq p$ . Az egyenlőség mindkét oldalát ( $m \cdot n$ )-edik hatványra emelve az

\begin{matrix} {(m - p)}^{m} = {(n - p)}^{n} \end{matrix}

(1)

összefüggéshez jutunk. Ha

m > n \geq p

, akkor

m - p > n - p \geq 0

. Következésképp

m - p

legalább kettő, mert páros szám. Ám ekkor

m > n

miatt

\begin{matrix} {(m - p)}^{m} > {(n - p)}^{n}, \end{matrix}

hiszen egynél nagyobb alap esetén

a^{x}

szigorúan monoton nő. Nem negatív

x

-re

x^{n}

is monoton nő, ezért

\begin{matrix} {(m - p)}^{n} \geq {(n - p)}^{n} . \end{matrix}

Azt kaptuk, hogy

m > n \geq p

esetén

\begin{matrix} {(m - p)}^{m} > {(n - p)}^{n}, \end{matrix}

tehát (1)-nek nincs megoldása. Hasonlóan adódik, hogy (1)

n > m \geq p

esetén sem áll fenn. Maradt az

m = n \geq p

eset. Nyilvánvaló, hogy ekkor

\sqrt[n]{m - p} = \sqrt[m]{m - p} = \sqrt[m]{n - p}

.
A kérdéses egyenlőségnek tehát a páros pozitív számok közül az

m = n \geq p

feltételt kielégítők, és csak ezek tesznek eleget.