Feladat: F.2482 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1985/április, 149 - 150. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szorzat, hatványozás azonosságai, Diofantikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/szeptember: F.2482

Mely m, n és p páros pozitív egész számokra igaz, hogy
m-pn=n-pm.(1)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A gyökjelek alatt nem-negatív számoknak kell állniuk, mivel a gyökkitevő mindkét oldalon páros (pozitív) egész. Így mpp és np. Az egyenlőség mindkét oldalát (mn)-edik hatványra emelve az

(m-p)m=(n-p)n(1)
összefüggéshez jutunk. Ha m>np, akkor m-p>n-p0. Következésképp m-p legalább kettő, mert páros szám. Ám ekkor m>n miatt
(m-p)m>(n-p)n,
hiszen egynél nagyobb alap esetén ax szigorúan monoton nő. Nem negatív x-re xn is monoton nő, ezért
(m-p)n(n-p)n.
Azt kaptuk, hogy m>np esetén
(m-p)m>(n-p)n,
tehát (1)-nek nincs megoldása. Hasonlóan adódik, hogy (1) n>mp esetén sem áll fenn. Maradt az m=np eset. Nyilvánvaló, hogy ekkor m-pn=m-pm=n-pm.
A kérdéses egyenlőségnek tehát a páros pozitív számok közül az m=np feltételt kielégítők, és csak ezek tesznek eleget.