Kezdőlap


Feladat:	F.2480	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Argay Gy. , Bán Rita , Bujdosó L. , Edvi T. , Fülöp T. , Füst Ágnes , Gáspár Zsuzsanna , Hajdú S. Z. , Hegedűs P. , Hetyei Judit , Horváth A. , Hraskó A. , Íjjas Cs. , Karácsony P. , Katona Gy. , Kerner Anna , Kónya Eszter , Kovács 111 S. , Kruzslicz F. , Ladányi L. , Limbek Cs. , Megyesi G. , Mócsy M. , Németh-Buhin Á. , Nyikes T. , Olasz Szabó M. , Paál Beatrix , Pfeil T. , Pintér A. , Pintér Á. , Ribényi Á. , Simon P. , Somogyi Á. , Szabó Sz. , Varga 135 L. , Varsányi T.
Füzet:	1985/március, 111 - 112. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Szögfelező egyenes, Egyenes körkúpok, Ellipszis, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/május: F.2480

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Észrevehetjük, hogy $D_{1} D_{2} \geq E_{1} E_{2},$ hiszen $E_{1} E_{2}$ egy húr a $D_{1} D_{2}$ átmérőjű körben; ha $A B = A C$ , akkor itt egyenlőség áll.

Továbbá legyen

A C > A B

. Húzzunk párhuzamost

D_{1} D_{2}

-vel a

B

ponton keresztül, és messe ez az

A C

oldalt

G

-ben, az

A

-ból kiinduló szögfelezőt pedig

F

-ben! Ekkor a

D_{1} D_{2} G B

négyszög szimmetrikus trapéz. Mivel

F

felezi a

B G

, és

A_{0}

B C

szakaszt, ezért

A_{0} F | | D_{2} G .

Így

D_{1} A_{0} F B

is szimmetrikus trapéz, ezért átlói egyenlőek:

B A_{0} = D_{1} F

. Az utóbbi szakasz tükörképe az

A

-ból induló szögfelezőre a

D_{2} F

szakasz, így

D_{1} F = D_{2} F

. A háromszög-egyenlőtlenségből:

\begin{matrix} D_{1} F + D_{2} F \geq D_{1} D_{2} . \end{matrix}

Az eddigieket összegezve:

\begin{matrix} B C = 2 B A_{0} = 2 D_{1} F = D_{1} F + D_{2} F \geq D_{1} D_{2} \geq E_{1} E_{2} \\ B C \geq E_{1} E_{2} . \end{matrix}

Itt egyenlőség pontosan akkor áll, ha

F

rajta van a

D_{1} D_{2}

egyenesen, vagyis ha

B

és

C

is, tehát

A B = A C

, a háromszög egyenlő szárú.

Megjegyzés. Rámutatunk a kérdés feltevésének hátterére. A könnyen kapott egyenlőtlenség azt jelenti, hogy ha vesszük azt a forgáskúpot, melynek tengelye a szögfelező és egy alkotója az

A B

egyenes, és ezt metsszük az

A B C

síkra merőleges, a

B C

-n átmenő síkkal, akkor a

B C

szakasz a keletkező metszet ellipszis nagy tengelye,

A_{0}

a középpontja, az

E_{1} E_{2}

szakasz pedig megadja a kistengely hosszát.

D_{1} D_{2}

A_{0}

-on átmenő és a tengelyre merőleges metszet (kör) átmérője.