|
Feladat: |
F.2480 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Argay Gy. , Bán Rita , Bujdosó L. , Edvi T. , Fülöp T. , Füst Ágnes , Gáspár Zsuzsanna , Hajdú S. Z. , Hegedűs P. , Hetyei Judit , Horváth A. , Hraskó A. , Íjjas Cs. , Karácsony P. , Katona Gy. , Kerner Anna , Kónya Eszter , Kovács 111 S. , Kruzslicz F. , Ladányi L. , Limbek Cs. , Megyesi G. , Mócsy M. , Németh-Buhin Á. , Nyikes T. , Olasz Szabó M. , Paál Beatrix , Pfeil T. , Pintér A. , Pintér Á. , Ribényi Á. , Simon P. , Somogyi Á. , Szabó Sz. , Varga 135 L. , Varsányi T. |
Füzet: |
1985/március,
111 - 112. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Geometriai egyenlőtlenségek, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Szögfelező egyenes, Egyenes körkúpok, Ellipszis, mint kúpszelet, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1984/május: F.2480 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Észrevehetjük, hogy hiszen egy húr a átmérőjű körben; ha , akkor itt egyenlőség áll.
Továbbá legyen . Húzzunk párhuzamost -vel a ponton keresztül, és messe ez az oldalt -ben, az -ból kiinduló szögfelezőt pedig -ben! Ekkor a négyszög szimmetrikus trapéz. Mivel felezi a , és a szakaszt, ezért Így is szimmetrikus trapéz, ezért átlói egyenlőek: . Az utóbbi szakasz tükörképe az -ból induló szögfelezőre a szakasz, így . A háromszög-egyenlőtlenségből: Az eddigieket összegezve:
Itt egyenlőség pontosan akkor áll, ha rajta van a egyenesen, vagyis ha és is, tehát , a háromszög egyenlő szárú.
Megjegyzés. Rámutatunk a kérdés feltevésének hátterére. A könnyen kapott egyenlőtlenség azt jelenti, hogy ha vesszük azt a forgáskúpot, melynek tengelye a szögfelező és egy alkotója az egyenes, és ezt metsszük az síkra merőleges, a -n átmenő síkkal, akkor a szakasz a keletkező metszet ellipszis nagy tengelye, a középpontja, az szakasz pedig megadja a kistengely hosszát. az -on átmenő és a tengelyre merőleges metszet (kör) átmérője. |
|