Feladat: F.2475 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Alexy N. ,  Argay Gy. ,  Bán Rita ,  Bujdosó L. ,  Csató J. ,  Csermely Ágnes ,  Fülöp T. ,  Füst Ágnes ,  Gáspár Zsuzsanna ,  Giba P. ,  Gyolcsos Csilla ,  Hajdú S. Z. ,  Hajós Zsuzsanna ,  Hegedűs P. ,  Horváth A. ,  Hraskó A. ,  Íjjas Cs. ,  Jakab T. ,  Jamrik F. ,  Kaiser A. ,  Karácsony P. ,  Katona Gy. ,  Kerner Anna ,  Kisdi B. ,  Komorowicz J. ,  Kónya Eszter ,  Kovács 111 S. ,  Kruzslicz F. ,  Ladányi L. ,  Limbek Cs. ,  Magyar Á. ,  Megyesi G. ,  Németh-Buhin Á. ,  Olasz-Szabó M. ,  Paál Beatrix ,  Pintér A. ,  Ribényi Á. ,  Simon Gy. ,  Simon P. ,  Szabó Sz. ,  Varga K. 
Füzet: 1985/március, 106 - 108. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Terület, felszín, Térfogat, Tetraéderek, Szögfüggvények a térben, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/április: F.2475

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Legyen az ADC∢=α, és a DB félegyenesnek az ACD síkkal bezárt szöge β. Ekkor az ACD háromszög területe

DA⋅DC⋅sinα2,
és az ABCD tetraédernek az ACD háromszöglaphoz tartozó magassága DB⋅sinβ, vagyis az ABCD tetraéder térfogata
DA⋅DB⋅DC⋅sinα⋅sinβ6.

 
 

Ugyanígy az A1B1C1D1tetraéder térfogata
DA1⋅DB1⋅DC1⋅sinα⋅sinβ6,
vagyis a két térfogat aránya valóban
DA⋅DB⋅DCDA1⋅DB1⋅DC1,
hacsak A1, B1, C1 egyike sem azonos D-vel.
Az állítás akkor is érvényes, ha az A1, B1, C1 pontokat ‐ esetleg mind a hármat ‐ is rendre a DA, DB, DC él D-n túli meghosszabbításán vesszük föl, hiszen akkor α és β helyére 180∘-α, ill. 180∘-β lép, de ezek sinusa ugyanannyi.
b)
 
 

Legyen LM és LK felezőpontja Q, ill. R. Állítjuk, hogy a PQR=Σ sík az LN egyenest abban az X pontban metszi, amely az L pont tükörképe az N-re, vagyis XN=NL. Ugyanis így választva X-et, XQ és MN az LMX háromszög súlyvonalai, és metszéspontjuk a súlypont, ez harmadolja MN-et, vagyis azonos P-vel. Megfordítva: a QPegyenes és vele a Σ sík X-ben metszi LN-t.
Ugyanígy kapjuk, hogy az XR egyenes ‐ és vele a síkunk is ‐ harmadában metszi a KN élt az S pontban: KS=2⋅SN.
Azt pedig eleve tudtuk Σ-ról, hogy a KM élt nem metszi, hanem párhuzamos vele, hiszen QR egyenes az LKM háromszög középvonala.
Ezek szerint Σ a PQRS négyszög oldalaiban metszi a KLMN=T tetraéder lapjait, és T darabjai 5-lapú testek, további lapjaik 2‐2 négyszög és 2‐2 háromszög. Azt a darabot, amelyik az LN élt a maga egészében tartalmazza, megkapjuk az LQRX és NPSX tetraéderek különbségeként. Ezekre ‐ T-vel párba állítva ‐ alkalmazható az a) részben bebizonyított tétel, illetve annak kiterjesztése. Az első pár LRQX és LKMN, a második pár NSPX és NKML. A térfogatarányok 3‐3 tényező szorzatai, mindegyik tényező olyan két szakasz aránya, amelyek ugyanazon egyenesnek részei és amelyeknek egyik végpontja közös, az L, ill. N csúcs:
LRLK⋅LQLM⋅LXLN=12⋅12⋅21=12,

NSNK⋅NPNM⋅NXNL=13⋅13⋅11=19.

Tehát a kettévágott tetraéder LN-t tartalmazó darabjának a térfogata az eredetinek 12-19=718 része. Így a másik ‐ a KM élt tartalmazó ‐ darabra a térfogat 11/18 része marad, végül a két rész térfogatainak aránya 7:11.