|
Feladat: |
F.2475 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Alexy N. , Argay Gy. , Bán Rita , Bujdosó L. , Csató J. , Csermely Ágnes , Fülöp T. , Füst Ágnes , Gáspár Zsuzsanna , Giba P. , Gyolcsos Csilla , Hajdú S. Z. , Hajós Zsuzsanna , Hegedűs P. , Horváth A. , Hraskó A. , Íjjas Cs. , Jakab T. , Jamrik F. , Kaiser A. , Karácsony P. , Katona Gy. , Kerner Anna , Kisdi B. , Komorowicz J. , Kónya Eszter , Kovács 111 S. , Kruzslicz F. , Ladányi L. , Limbek Cs. , Magyar Á. , Megyesi G. , Németh-Buhin Á. , Olasz-Szabó M. , Paál Beatrix , Pintér A. , Ribényi Á. , Simon Gy. , Simon P. , Szabó Sz. , Varga K. |
Füzet: |
1985/március,
106 - 108. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Terület, felszín, Térfogat, Tetraéderek, Szögfüggvények a térben, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1984/április: F.2475 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) Legyen az és a félegyenesnek az síkkal bezárt szöge Ekkor az háromszög területe és az tetraédernek az háromszöglaphoz tartozó magassága , vagyis az tetraéder térfogata
Ugyanígy az tetraéder térfogata vagyis a két térfogat aránya valóban hacsak , , egyike sem azonos -vel. Az állítás akkor is érvényes, ha az , , pontokat ‐ esetleg mind a hármat ‐ is rendre a , , él -n túli meghosszabbításán vesszük föl, hiszen akkor és helyére , ill. lép, de ezek sinusa ugyanannyi.
Legyen és felezőpontja , ill. . Állítjuk, hogy a sík az egyenest abban az pontban metszi, amely az pont tükörképe az -re, vagyis . Ugyanis így választva -et, és az háromszög súlyvonalai, és metszéspontjuk a súlypont, ez harmadolja -et, vagyis azonos -vel. Megfordítva: a egyenes és vele a sík -ben metszi -t. Ugyanígy kapjuk, hogy az egyenes ‐ és vele a síkunk is ‐ harmadában metszi a élt az pontban: . Azt pedig eleve tudtuk -ról, hogy a élt nem metszi, hanem párhuzamos vele, hiszen egyenes az háromszög középvonala. Ezek szerint a négyszög oldalaiban metszi a tetraéder lapjait, és darabjai 5-lapú testek, további lapjaik 2‐2 négyszög és 2‐2 háromszög. Azt a darabot, amelyik az élt a maga egészében tartalmazza, megkapjuk az és tetraéderek különbségeként. Ezekre ‐ -vel párba állítva ‐ alkalmazható az részben bebizonyított tétel, illetve annak kiterjesztése. Az első pár és , a második pár és . A térfogatarányok 3‐3 tényező szorzatai, mindegyik tényező olyan két szakasz aránya, amelyek ugyanazon egyenesnek részei és amelyeknek egyik végpontja közös, az , ill. csúcs: | |
| |
Tehát a kettévágott tetraéder -t tartalmazó darabjának a térfogata az eredetinek része. Így a másik ‐ a élt tartalmazó ‐ darabra a térfogat része marad, végül a két rész térfogatainak aránya |
|