|
Feladat: |
F.2469 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Argay Gy. , Bán Rita , Csermely Ágnes , Gyolcsos Csilla , Hajós Zsuzsanna , Hraskó A. , Íjjas Cs. , Ispány Márton , Karácsony P. , Kerner Anna , Kruzslicz F. , Limbek Cs. , Magyar Á. , Megyesi G. , Mócsy M. , Paál Beatrix , Ribényi Á. , Varga K. |
Füzet: |
1985/január,
14 - 17. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Tengelyes tükrözés, Síkra vonatkozó tükrözés, Merőleges affinitás, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Téglatest, Egyenes körkúpok, Térelemek és részeik, Szögfüggvények a térben, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1984/március: F.2469 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. I. az szárak egyenlősége biztosítja, hogy a és pontok által a forgatások közben leírt körök metszik egymást, hiszen mindkettő rajta van az körüli sugarú gömbön. A kérdés e két kör vizsgálatára egyszerűsödik, hiszen a metszéspontokat -val összekötő egyenesek lesznek a két kúpfelület közös alkotói. Legyen tükörképe -re és képe -re , ekkor a körök egy-egy átmérője , ill. , és síkjaik merőlegesek az ABC síkra. Így a körök vetülete a , ill. szakasz, ezek metszéspontja a közös , pontok vetülete, és ez rajta van a szög felező egyenesén, hiszen az egész alakzatnak szimmetriatengelye, a síkra nézve a két kúpfelület egymás tükörképe.
1.a ábra
1.b ábra Legyen még vetülete -re , ez a által leírt kör középpontja, továbbá . Az esetet tüstént kizárhatjuk, mert ekkor a forgatások nem kúpfelületeket adnak, hanem a forgástengelyre merőleges síkokat, és ekkor a kérdésnek nincs tartalma, hiszen a két sík egyetlen egyenesben metszi egymást, mely az pontban merőlegesen áll a síkra. Így már elegendő a esettel foglalkoznunk, elvégre a mindkét irányban vég nélküli , egyeneseket forgatjuk. Ha volna és tükörképe -ra , akkor ezt véve helyén, ugyanazt a kúpot kapjuk és . Legyen egyelőre , és jelöljük a keresett szöget -vel. A egyenlő szárú háromszögből | | Az esetben a két kúpfelületnek egy további közös alkotója adódik: az ekkor azonossá váló , egyenesek. A két felület érinti egymást ezen egyenes mentén. Ez a közös alkotó derékszöget zár be az előzőek mintájára keletkező -gyel és -vel. Innen kezdve, vagyis a értékekre, figyelembe kell vennünk, hogy tulajdonképpen ún. kettős kúpok keletkeznek és metszik egymást. Például az félegyenes által leírt egyszerű kúpnak az pontra való tükörképe is hozzátartozik a vizsgálandó alakzathoz. Ezt a tükörképet az félegyenes írja le.
2. ábra A 2. ábra ilyen helyzetben a , pontok által leírt körök vetületét is mutatja az síkra, mint az körüli sugarú kör húrjait. A húrok , , újabb közös pontja fölött és alatt is metszi egymást, közös alkotó, ekkor a számuk (mindkét irányban végtelen alkotókat értve) , hiszen ugyanazt az alkotót határozza meg, mint , s í . t. A térbeli helyzetet mutató 3. ábráról a átmérőjű kört elhagytuk.
3. ábra Az "újabb fajta'' közös alkotók közti szögre az előbbi számításhoz hasonlóan adódik. Egy korábbi és egy újabb közös alkotó hajlásszöge csak egyféle lehet, a minden párbaállításba átvihető alkalmas szimmetriával, hiszen a két kúpfelület alakzatának az sík is szimmetriasíkja. Az egyenlő szárú háromszög alapját annak a téglatestnek testátlójaként számíthatjuk, melynek egy-egy lapsíkja , , és további két lapsíkja ezekre merőleges, átmegy -en, ill. -en. Éleinek hosszát megadja , és , másképpen , és . Ezek négyzetösszege | | és így, mivel , | |
II. Áttérve a feladat második kérdésére, ezt így is föltehetjük: a közös alkotók szöge , ezektől elfordulva az egyes kúpokon, elérhető-e köztük a -os szög? Nehogy két független változónk legyen a forgatásban, forgassuk az tengelyű kúpon az alkotókat az helyzettől felé ( az alapkörön halad), és tekintsük ennek tükörképét -re, ami rajta van a másik kúpon (1. ábra). Az szög nyilván folytonosan növekszik, míg a -be érkezik, majd visszacsökken -ra, mire a -be ér. A szög legnagyobb értéke a . Mármost ha , akkor , tehát merőleges alkotópárt esetén lehet kiválasztani a kúpokról.
Megjegyzés. A 2. ábra alapján egyszerű szerkesztés adódik a szögekre. Legyen a körnek -re merőleges húrja . A végpontokat tekinthetjük és beforgatottjának körül az síkba ‐ a gömb -beli körével együtt ‐, ekkor . Ugyanígy . Az céljára annak a derékszögű háromszögnek az átfogója, melynek befogói és , ekkor a -ban hosszúságú húrhoz tartozó középponti szög.
|
|