Legyen $i$ tetszőleges egész szám. Tekintsük az (1, $i$), (2, $i$), (3, $i$), (4, $i$) koordinátájú pontnégyest. Mind a négy pont három különböző színt kaphat, ezt a négy pontot tehát $3^4=81$ különböző módon színezhettük. Ha veszünk 82 ilyen pontnégyest, pl. futtatjuk $i$-t 1-től 82-ig, akkor ezek között lesz kettő, amelyek teljesen azonosan vannak színezve, vagyis van két különböző $i$ és $j$ az 1 és 82 között, amelyre (1, $i$) színe megegyezik (1, $j$) színével, (2, $i$) színe (2, $j$) színével stb.
De az (1, $i$), (2, $i$), (3, $i$), (4, $i$) pontnégyes között van két azonos színű, hiszen csak három színünk van. Legyenek $\left(a\mathrm{,}i\right)$, és $\left(b\mathrm{,}i\right)$ ilyenek $\left(1\leqq a<b\leqq 4\right)$. Ekkor $\left(a\mathrm{,}i\right)$, $\left(a\mathrm{,}j\right)$, $\left(b\mathrm{,}j\right)$, $\left(b\mathrm{,}i\right)$ négy egyszínű rácspont, amelyek a koordinátatengelyekkel párhuzamos oldalú téglalapot alkotnak.