|
Feladat: |
F.2460 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Alexy N. , Badics T. , Bán Rita , Bóna M. , Bujdosó 419 L. , Csermely Ágnes , Dinnyés Enikő , Edvi T. , Fülöp T. , Füst Ágnes , Hetyei Judit , Horváth A. , Hraskó A. , Ilosvay F. , Ispány Márton , Kaiser A. , Karácsony P. , Katona Gy. , Kerner Anna , Komorovicz J. , Kós Géza , Kovács 111 S. , Kruzslicz F. , Limbek Cs. , Magyar Á. , Megyesi G. , Mócsy M. , Németh-Buhin Ákos , Paál Beatrix , Pfeil T. , Pintér A. , Pintér Gabriella , Ribényi Ákos , Simon Gy. , Simon P. , Sobor G. , Varga K. |
Füzet: |
1986/április,
153 - 154. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Függvények, Részhalmazok, Számhalmazok, Indirekt bizonyítási mód, Komplex számok, Legkisebb közös többszörös, Számsorok, Számtani sorozat, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1984/február: F.2460 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A legkisebb közös többszöröst a szóban forgó számok -be foglalt felsorolásával jelöljük. Jelölje a pozitív egész számok halmazát. Ha , akkor az állítás nyilván igaz (). Ha , akkor vagy a -gyel osztható, vagy pedig a -gyel osztva 1 maradékot adó számok teljesen kimaradnak az -ből, hiszen minden eleme ugyanannyi maradékot ad -gyel osztva. Az halmaznak tehát végtelen sok eleme van. Tekintsük most a legnagyobb olyan -t, amelyre végtelen halmaz. Mivel a feltétel szerint üres, tehát ilyen létezik, és véges. Memutatjuk, hogy . Ebből az állítás már következik, hisz , . A megválasztása miatt végtelen sok olyan -beli szám van, amelyik nem eleme az halmaznak. Ha egy ilyen szám, akkor azt állítjuk, hogy sem eleme -nek, ahol . Ha ugyanis volna valamilyen -re, akkor is -beli volna, hiszen az egy differenciájú számtani sorozat, pedig pozitív egész. Azt kaptuk tehát, hogy végtelen sok olyan -beli szám van, amelyre . Másfelől az halmazban csak véges sok természetes szám nincs ott, a talált végtelen sok alakú szám között így van olyan ‐ végtelen sok ‐, amelyik benne van ebben a halmazban. Mivel pedig láttuk, hogy az első halmaz uniójában nincs benne, ezért valamennyi ilyen számnak az -ben kell lennie. Van tehát ‐ mégpedig végtelen sok, de erre nincs szükség ‐ olyan -beli , amelyre is igaz. Ebből viszont már következik az állítás, hiszen az számtani sorozat bármely két elemének különbsége osztható a sorozat differenciájával, -gyel. Megjegyzések. 1. A feladatban leírt tulajdonságokkal rendelkező halmazrendszereket véges fedőrendszereknek nevezik, és igen sok a velük kapcsolatos megoldatlan probléma. Nem ismeretes például, hogy létezik- e olyan véges fedőrendszer, ahol a differenciák egymástól és 1-től különböző páratlan számok. Azt sem tudjuk még, hogy igaz-e az a ‐ feladatunkénál jóval erősebb ‐ állítás, miszerint egy véges fedőrendszerben mindig van olyan differencia, amelyik egy másiknak osztója. 2. Ha a szóban forgó sorozatokról még azt is föltesszük, hogy semelyik kettőnek nincs közös eleme, akkor jóval többet állíthatunk: azt, hogy a differenciák közt vannak egyenlők. A bizonyításhoz a számelmélet egy jól ismert, bár első találkozáskor kétségkívül meghökkentő eszközének, a komplex változós függvényeknek néhány elemi tulajdonságára van szükség. Az alábbiakban vázoljuk a fenti állítás bizonyítását. Tegyük fel, hogy a természetes számokat ‐ ez nem lényeges különbség ‐ sikerült felbontanunk véges sok ‐ mondjuk darab ‐ közös elem nélküli végtelen számtani sorozat egyesítésére. Legyenek ezek az alakú sorozatok . Tekintsük az alábbi végtelen mértani sort: Könnyen igazolható, hogy a fenti sor komplex számok körében is minden -re konvergens és összege . Mivel a kitevők éppen a természetes számok, a fenti összeg tagjait átrendezhetjük a feltételezésünk szerint létező felbontásnak megfelelően darab végtelen mértani sorrá. Amit felhasználunk még, az az, hogy ez az átrendezés a sor összegén ‐ jelen esetben ‐ nem változtat. Így tehát ‐ felhasználva, hogy az egyes mértani sorok összege , ha , az átrendezhetőség miatt | | (*) | ha . Ha a -k különbözők, akkor legyen és legyen egy primitív -adik egységgyök ‐ így és , ha . Ha most úgy, hogy eközben , akkor a bal oldal, illetve a jobb oldal első tagja korlátos, az utolsó, -adik tag viszont nem az, a () egyenlőség tehát nem állhat fenn minden -re. A kapott ellentmondásból következik, hogy a differenciák között vannak egyenlők, sőt az is kiderül, hogy a differenciák maximuma legalább kétszer fordul elő. |
|